MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnmpt Structured version   Unicode version

Theorem rnmpt 5116
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
rnmpt  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    F( x, y)

Proof of Theorem rnmpt
StepHypRef Expression
1 rnopab 5115 . 2  |-  ran  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
2 rnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
3 df-mpt 4268 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
42, 3eqtri 2456 . . 3  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
54rneqi 5096 . 2  |-  ran  F  =  ran  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
6 df-rex 2711 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  =  B
) )
76abbii 2548 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
81, 5, 73eqtr4i 2466 1  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   {copab 4265    e. cmpt 4266   ran crn 4879
This theorem is referenced by:  elrnmpt  5117  elrnmpt1  5119  elrnmptg  5120  dfiun3g  5122  dfiin3g  5123  fnrnfv  5773  fmpt  5890  fnasrn  5912  abrexex  5983  abrexexg  5984  fliftf  6037  fo1st  6366  fo2nd  6367  qliftf  6992  abrexfi  7407  iinfi  7422  tz9.12lem1  7713  infmap2  8098  cfslb2n  8148  fin23lem29  8221  fin23lem30  8222  fin1a2lem11  8290  ac6num  8359  rankcf  8652  tskuni  8658  gruiun  8674  4sqlem11  13323  4sqlem12  13324  vdwapval  13341  vdwlem6  13354  divslem  13768  conjnmzb  15040  sylow1lem2  15233  sylow3lem1  15261  sylow3lem2  15262  rnascl  16401  iinopn  16975  restco  17228  pnrmopn  17407  cncmp  17455  discmp  17461  alexsublem  18075  ptcmplem3  18085  snclseqg  18145  prdsxmetlem  18398  prdsbl  18521  xrhmeo  18971  pi1xfrf  19078  pi1cof  19084  iunmbl  19447  voliun  19448  itg1addlem4  19591  i1fmulc  19595  mbfi1fseqlem4  19610  itg2monolem1  19642  aannenlem2  20246  nbgraf1olem5  21455  fargshiftfo  21625  efghgrp  21961  circgrp  21962  ofrn2  24053  abrexct  24111  abrexctf  24113  esumc  24446  bdayfo  25630  fobigcup  25745  mptelee  25834  areacirclem2  26293  comppfsc  26387  istotbnd3  26480  sstotbnd  26484  rmxypairf1o  26974  ellspd  27231  hbtlem6  27310  fnrnafv  28002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator