MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnmpt Unicode version

Theorem rnmpt 4925
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
rnmpt  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    F( x, y)

Proof of Theorem rnmpt
StepHypRef Expression
1 rnopab 4924 . 2  |-  ran  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
2 rnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
3 df-mpt 4079 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
42, 3eqtri 2303 . . 3  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
54rneqi 4905 . 2  |-  ran  F  =  ran  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
6 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  =  B
) )
76abbii 2395 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
81, 5, 73eqtr4i 2313 1  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   {copab 4076    e. cmpt 4077   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  elrnmpt  4926  elrnmpt1  4928  elrnmptg  4929  dfiun3g  4931  dfiin3g  4932  fnrnfv  5569  fmpt  5681  fnasrn  5702  abrexex  5763  abrexexg  5764  fliftf  5814  fo1st  6139  fo2nd  6140  qliftf  6746  abrexfi  7156  iinfi  7171  tz9.12lem1  7459  infmap2  7844  cfslb2n  7894  fin23lem29  7967  fin23lem30  7968  fin1a2lem11  8036  ac6num  8106  rankcf  8399  tskuni  8405  gruiun  8421  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  vdwapval  13020  vdwlem6  13033  divslem  13445  conjnmzb  14717  sylow1lem2  14910  sylow3lem1  14938  sylow3lem2  14939  rnascl  16082  iinopn  16648  restco  16895  pnrmopn  17071  cncmp  17119  discmp  17125  alexsublem  17738  ptcmplem3  17748  snclseqg  17798  prdsxmetlem  17932  prdsbl  18037  xrhmeo  18444  pi1xfrf  18551  pi1cof  18557  iunmbl  18910  voliun  18911  itg1addlem4  19054  i1fmulc  19058  mbfi1fseqlem4  19073  itg2monolem1  19105  aannenlem2  19709  efghgrp  21040  circgrp  21041  ofrn2  23207  abrexct  23347  abrexctf  23349  esumc  23430  bdayfo  24329  fobigcup  24440  mptelee  24523  areacirclem4  24927  trran2  25393  ltrran2  25403  rltrran  25414  trran  25614  smbkle  26043  cndpv  26049  pgapspf  26052  comppfsc  26307  istotbnd3  26495  sstotbnd  26499  rmxypairf1o  26996  ellspd  27254  hbtlem6  27333  fnrnafv  28024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator