MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnss Structured version   Unicode version

Theorem rnss 5100
Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
rnss  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )

Proof of Theorem rnss
StepHypRef Expression
1 cnvss 5047 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  `' A  C_  `' B )
2 dmss 5071 . . 3  |-  ( `' A  C_  `' B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B
)
4 df-rn 4891 . 2  |-  ran  A  =  dom  `' A
5 df-rn 4891 . 2  |-  ran  B  =  dom  `' B
63, 4, 53sstr4g 3391 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3322   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881
This theorem is referenced by:  imass1  5241  imass2  5242  ssxpb  5305  ssrnres  5311  sofld  5320  funssxp  5606  fssres  5612  dff2  5883  dff3  5884  fliftf  6039  1stcof  6376  2ndcof  6377  frxp  6458  smores  6616  fodomfi  7387  marypha1lem  7440  marypha1  7441  dfac12lem2  8026  brdom4  8410  smobeth  8463  fpwwe2lem13  8519  nqerf  8809  prdsval  13680  prdsbas  13682  prdsplusg  13683  prdsmulr  13684  prdsvsca  13685  prdshom  13691  catcoppccl  14265  catcfuccl  14266  catcxpccl  14306  lern  14672  odf1o2  15209  gsumzres  15519  gsumzaddlem  15528  gsumzadd  15529  dprdfadd  15580  dprdres  15588  cnrest  17351  lmss  17364  txss12  17639  txbasval  17640  txkgen  17686  fmss  17980  tsmsxplem1  18184  ustimasn  18260  utopbas  18267  metustexhalfOLD  18595  metustexhalf  18596  causs  19253  ovoliunlem1  19400  dvcnvrelem1  19903  taylf  20279  dvlog  20544  sspba  22228  imadifxp  24040  metideq  24290  sxbrsigalem5  24640  nodenselem6  25643  fixssrn  25754  mblfinlem1  26245  diophrw  26819  dnnumch2  27122  lmhmlnmsplit  27164  hbtlem6  27312  dicval  32036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891
  Copyright terms: Public domain W3C validator