MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnss Unicode version

Theorem rnss 4923
Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
rnss  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )

Proof of Theorem rnss
StepHypRef Expression
1 cnvss 4870 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  `' A  C_  `' B )
2 dmss 4894 . . 3  |-  ( `' A  C_  `' B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B
)
4 df-rn 4716 . 2  |-  ran  A  =  dom  `' A
5 df-rn 4716 . 2  |-  ran  B  =  dom  `' B
63, 4, 53sstr4g 3232 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3165   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706
This theorem is referenced by:  imass1  5064  imass2  5065  ssxpb  5126  ssrnres  5132  sofld  5137  funssxp  5418  fssres  5424  dff2  5688  dff3  5689  fliftf  5830  1stcof  6163  2ndcof  6164  frxp  6241  smores  6385  fodomfi  7151  marypha1lem  7202  marypha1  7203  dfac12lem2  7786  brdom4  8171  smobeth  8224  fpwwe2lem13  8280  nqerf  8570  prdsval  13371  prdsbas  13373  prdsplusg  13374  prdsmulr  13375  prdsvsca  13376  prdshom  13382  catcoppccl  13956  catcfuccl  13957  catcxpccl  13997  lern  14363  odf1o2  14900  gsumzres  15210  gsumzaddlem  15219  gsumzadd  15220  dprdfadd  15271  dprdres  15279  cnrest  17029  lmss  17042  txss12  17316  txbasval  17317  txkgen  17362  fmss  17657  tsmsxplem1  17851  causs  18740  ovoliunlem1  18877  dvcnvrelem1  19380  taylf  19756  dvlog  20014  sspba  21319  nodenselem6  24411  fixssrn  24518  svs2  25590  relrded  25845  dmrngcmp  25854  relrcat  25866  diophrw  26941  dnnumch2  27245  lmhmlnmsplit  27288  hbtlem6  27436  dicval  31988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716
  Copyright terms: Public domain W3C validator