MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnss Unicode version

Theorem rnss 4907
Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
rnss  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )

Proof of Theorem rnss
StepHypRef Expression
1 cnvss 4854 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  `' A  C_  `' B )
2 dmss 4878 . . 3  |-  ( `' A  C_  `' B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  dom  `' A  C_  dom  `' B
)
4 df-rn 4700 . 2  |-  ran  A  =  dom  `' A
5 df-rn 4700 . 2  |-  ran  B  =  dom  `' B
63, 4, 53sstr4g 3219 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ran  A 
C_  ran  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    C_ wss 3152   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  imass1  5048  imass2  5049  ssxpb  5110  ssrnres  5116  sofld  5121  funssxp  5402  fssres  5408  dff2  5672  dff3  5673  fliftf  5814  1stcof  6147  2ndcof  6148  frxp  6225  smores  6369  fodomfi  7135  marypha1lem  7186  marypha1  7187  dfac12lem2  7770  brdom4  8155  smobeth  8208  fpwwe2lem13  8264  nqerf  8554  prdsval  13355  prdsbas  13357  prdsplusg  13358  prdsmulr  13359  prdsvsca  13360  prdshom  13366  catcoppccl  13940  catcfuccl  13941  catcxpccl  13981  lern  14347  odf1o2  14884  gsumzres  15194  gsumzaddlem  15203  gsumzadd  15204  dprdfadd  15255  dprdres  15263  cnrest  17013  lmss  17026  txss12  17300  txbasval  17301  txkgen  17346  fmss  17641  tsmsxplem1  17835  causs  18724  ovoliunlem1  18861  dvcnvrelem1  19364  taylf  19740  dvlog  19998  sspba  21303  nodenselem6  24340  fixssrn  24447  svs2  25487  relrded  25742  dmrngcmp  25751  relrcat  25763  diophrw  26838  dnnumch2  27142  lmhmlnmsplit  27185  hbtlem6  27333  dicval  31366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator