Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rntpos Structured version   Unicode version

Theorem rntpos 6484
 Description: The range of tpos when is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
rntpos tpos

Proof of Theorem rntpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . . 5
21elrn 5102 . . . 4 tpos tpos
3 vex 2951 . . . . . . . . 9
43, 1breldm 5066 . . . . . . . 8 tpos tpos
5 dmtpos 6483 . . . . . . . . 9 tpos
65eleq2d 2502 . . . . . . . 8 tpos
74, 6syl5ib 211 . . . . . . 7 tpos
8 relcnv 5234 . . . . . . . 8
9 elrel 4970 . . . . . . . 8
108, 9mpan 652 . . . . . . 7
117, 10syl6 31 . . . . . 6 tpos
12 breq1 4207 . . . . . . . . 9 tpos tpos
13 brtpos 6480 . . . . . . . . . 10 tpos
141, 13ax-mp 8 . . . . . . . . 9 tpos
1512, 14syl6bb 253 . . . . . . . 8 tpos
16 opex 4419 . . . . . . . . 9
1716, 1brelrn 5092 . . . . . . . 8
1815, 17syl6bi 220 . . . . . . 7 tpos
1918exlimivv 1645 . . . . . 6 tpos
2011, 19syli 35 . . . . 5 tpos
2120exlimdv 1646 . . . 4 tpos
222, 21syl5bi 209 . . 3 tpos
231elrn 5102 . . . 4
243, 1breldm 5066 . . . . . . 7
25 elrel 4970 . . . . . . . 8
2625ex 424 . . . . . . 7
2724, 26syl5 30 . . . . . 6
28 breq1 4207 . . . . . . . . 9
2928, 14syl6bbr 255 . . . . . . . 8 tpos
30 opex 4419 . . . . . . . . 9
3130, 1brelrn 5092 . . . . . . . 8 tpos tpos
3229, 31syl6bi 220 . . . . . . 7 tpos
3332exlimivv 1645 . . . . . 6 tpos
3427, 33syli 35 . . . . 5 tpos
3534exlimdv 1646 . . . 4 tpos
3623, 35syl5bi 209 . . 3 tpos
3722, 36impbid 184 . 2 tpos
3837eqrdv 2433 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  cop 3809   class class class wbr 4204  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871   wrel 4875  tpos ctpos 6470 This theorem is referenced by:  tposfo2  6494  oppchofcl  14349  oyoncl  14359 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-tpos 6471
 Copyright terms: Public domain W3C validator