Theorem rnuni 4474

Description: The range of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
rnuni	|- ran U. A = U_x e. A ran x

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3401	. . . . . 6 |- (<.y, z>. e. U.A <-> E.x(<.y, z>. e. x /\ x e. A))
2	1	exbii 1716	. . . . 5 |- (E.y<.y, z>. e. U.A <-> E.yE.x(<.y, z>. e. x /\ x e. A))
3		excom 1711	. . . . 5 |- (E.yE.x(<.y, z>. e. x /\ x e. A) <-> E.xE.y(<.y, z>. e. x /\ x e. A))
4		ancom 510	. . . . . . 7 |- ((E.y<.y, z>. e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ E.y<.y, z>. e. x))
5		19.41v 1982	. . . . . . 7 |- (E.y(<.y, z>. e. x /\ x e. A) <-> (E.y<.y, z>. e. x /\ x e. A))
6		visset 2572	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elrn2 4349	. . . . . . . 8 |- (z e. ran x <-> E.y<.y, z>. e. x)
8	7	anbi2i 804	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ z e. ran x) <-> (x e. A /\ E.y<.y, z>. e. x))
9	4, 5, 8	3bitr4i 340	. . . . . 6 |- (E.y(<.y, z>. e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ z e. ran x))
10	9	exbii 1716	. . . . 5 |- (E.xE.y(<.y, z>. e. x /\ x e. A) <-> E.x(x e. A /\ z e. ran x))
11	2, 3, 10	3bitri 334	. . . 4 |- (E.y<.y, z>. e. U.A <-> E.x(x e. A /\ z e. ran x))
12		df-rex 2390	. . . 4 |- (E.x e. A z e. ran x <-> E.x(x e. A /\ z e. ran x))
13	11, 12	bitr4i 310	. . 3 |- (E.y<.y, z>. e. U.A <-> E.x e. A z e. ran x)
14	6	elrn2 4349	. . 3 |- (z e. ran U. A <-> E.y<.y, z>. e. U.A)
15		eliun 3472	. . 3 |- (z e. U_x e. A ran x <-> E.x e. A z e. ran x)
16	13, 14, 15	3bitr4i 340	. 2 |- (z e. ran U. A <-> z e. U_x e. A ran x)
17	16	eqriv 2167	1 |- ran U. A = U_x e. A ran x

Syntax hints:   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  E.wex 1644  E.wrex 2386  <.cop 3272  U.cuni 3398  U_ciun 3468  ran crn 4152

This theorem is referenced by:  axdc3lem2 6377  infxpidmlem6OLD 9356  axfelem21 14966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-cnv 4167  df-dm 4169  df-rn 4170

Copyright terms: Public domain