MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Unicode version

Theorem rollelem 19740
Description: Lemma for rolle 19741. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
rolle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
rolle.n  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
Assertion
Ref Expression
rollelem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, x, y    x, B, y    x, F, y   
x, U, y

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
2 rolle.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
3 rolle.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9067 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5 rolle.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9067 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 rolle.lt . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <  B )
83, 5, 7ltled 9153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
9 prunioo 10957 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
112, 10eleqtrrd 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
12 elun 3431 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( U  e.  ( A (,) B
)  \/  U  e. 
{ A ,  B } ) )
1311, 12sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( A (,) B )  \/  U  e.  { A ,  B }
) )
1413ord 367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  U  e.  ( A (,) B
)  ->  U  e.  { A ,  B }
) )
151, 14mt3d 119 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
16 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
17 cncff 18794 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
19 iccssre 10924 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
203, 5, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
21 ioossicc 10928 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
23 rolle.d . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
2415, 23eleqtrrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
25 rolle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
26 ssralv 3350 . . . 4  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2722, 25, 26sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 19739 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
29 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( x  =  U  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
3029eqeq1d 2395 . . 3  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  U )  =  0 ) )
3130rspcev 2995 . 2  |-  ( ( U  e.  ( A (,) B )  /\  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
3215, 28, 31syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    u. cun 3261    C_ wss 3263   {cpr 3758   class class class wbr 4153   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   (,)cioo 10848   [,]cicc 10851   -cn->ccncf 18777    _D cdv 19617
This theorem is referenced by:  rolle  19741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator