MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Unicode version

Theorem root1eq1 20095
Description: The only powers of an  N-th root of unity that equal  1 are the multiples of  N. In other words,  -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) has order  N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complexes.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
3 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
54recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
6 ax-icn 8796 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7 pire 19832 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
87recni 8849 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
96, 8mulcli 8842 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
109a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( _i  x.  pi )  e.  CC )
115, 10mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
12 efexp 12381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
1311, 12sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
14 zcn 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
16 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
18 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1918a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
20 nnne0 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
2215, 17, 19, 21div32d 9559 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  2 )  =  ( K  x.  ( 2  /  N ) ) )
2322oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  x.  ( 2  /  N ) )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
2415, 17, 21divcld 9536 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  /  N
)  e.  CC )
2524, 19, 10mulassd 8858 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2615, 5, 10mulassd 8858 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( 2  /  N
) )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2723, 25, 263eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2827fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
29 neg1cn 9813 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
32 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
3331, 32negne0i 9121 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
3530, 34, 5cxpefd 20059 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
36 logm1 19942 . . . . . . . 8  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
3736oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
3837fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
3935, 38syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4039oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ^ K ) )
4113, 28, 403eqtr4rd 2326 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
4241eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1 ) )
4318, 9mulcli 8842 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
44 mulcl 8821 . . . 4  |-  ( ( ( K  /  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  e.  CC )
4524, 43, 44sylancl 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC )
46 efeq1 19891 . . 3  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  1  <->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
4745, 46syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1  <->  ( (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
486, 18, 8mul12i 9007 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
4948oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
5043a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
51 2ne0 9829 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
52 ine0 9215 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
53 pipos 19833 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
547, 53gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
556, 8, 52, 54mulne0i 9411 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  pi )  =/=  0
5618, 9, 51, 55mulne0i 9411 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  =/=  0
5756a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  =/=  0 )
5824, 50, 57divcan4d 9542 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5949, 58syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
6059eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
61 nnz 10045 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6261adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
63 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
64 dvdsval2 12534 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6562, 21, 63, 64syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6660, 65bitr4d 247 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  N 
||  K ) )
6742, 47, 663bitrd 270 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    x. cmul 8742   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ^cexp 11104   expce 12343   picpi 12348    || cdivides 12531   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  20503  dchrptlem2  20504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator