MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10399
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10392 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10395 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   CCcc 8735   0cc0 8737   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  expcnv  12322  mertenslem1  12340  ovolscalem1  18872  aalioulem2  19713  aalioulem3  19714  dvsqr  20084  cxpcn3lem  20087  divsqrsumlem  20274  logexprlim  20464  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chebbnd2  20626  chpchtlim  20628  chpo1ub  20629  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  rplogsum  20676  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  selberglem1  20694  pntrmax  20713  pntpbnd1a  20734  pntibndlem2  20740  pntlemc  20744  pntlemb  20746  pntlemn  20749  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemk  20755  pntlemo  20756  pnt2  20762  bcm1n  23032  relogbcl  23404  jm2.21  27087  wallispilem4  27817  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator