MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10415
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10408 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10411 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   CCcc 8751   0cc0 8753   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  expcnv  12338  mertenslem1  12356  ovolscalem1  18888  aalioulem2  19729  aalioulem3  19730  dvsqr  20100  cxpcn3lem  20103  divsqrsumlem  20290  logexprlim  20480  chebbnd1lem3  20636  chebbnd1  20637  chtppilimlem1  20638  chtppilimlem2  20639  chebbnd2  20642  chpchtlim  20644  chpo1ub  20645  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrvmasumlem1  20660  dchrvmasum2lem  20661  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  rplogsum  20692  mulogsum  20697  mulog2sumlem1  20699  selberglem1  20710  pntrmax  20729  pntpbnd1a  20750  pntibndlem2  20756  pntlemc  20760  pntlemb  20762  pntlemn  20765  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemk  20771  pntlemo  20772  pnt2  20778  bcm1n  23048  relogbcl  23419  jm2.21  27190  wallispilem4  27920  stirlinglem10  27935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator