MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10583
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10576 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10579 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2544   CCcc 8915   0cc0 8917   RR+crp 10538
This theorem is referenced by:  expcnv  12564  mertenslem1  12582  ovolscalem1  19270  aalioulem2  20111  aalioulem3  20112  dvsqr  20489  cxpcn3lem  20492  divsqrsumlem  20679  logexprlim  20870  chebbnd1lem3  21026  chebbnd1  21027  chtppilimlem1  21028  chtppilimlem2  21029  chebbnd2  21032  chpchtlim  21034  chpo1ub  21035  rplogsumlem1  21039  rplogsumlem2  21040  rpvmasumlem  21042  dchrvmasumlem1  21050  dchrvmasum2lem  21051  dchrvmasumlem2  21053  dchrisum0fno1  21066  dchrisum0lem1b  21070  dchrisum0lem1  21071  dchrisum0lem2a  21072  dchrisum0lem2  21073  dchrisum0lem3  21074  rplogsum  21082  mulogsum  21087  mulog2sumlem1  21089  selberglem1  21100  pntrmax  21119  pntpbnd1a  21140  pntibndlem2  21146  pntlemc  21150  pntlemb  21152  pntlemn  21155  pntlemr  21157  pntlemj  21158  pntlemf  21160  pntlemk  21161  pntlemo  21162  pnt2  21168  bcm1n  23981  rnlogbval  24190  relogbcl  24192  nnlogbexp  24194  jm2.21  26750  stoweidlem25  27436  stoweidlem42  27453  wallispilem4  27479  stirlinglem10  27494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-op 3760  df-uni 3952  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-ltxr 9052  df-rp 10539
  Copyright terms: Public domain W3C validator