MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Unicode version

Theorem rpdivcl 10566
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10550 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 10560 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 9665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1154 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 10546 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 10546 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 9810 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 466 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 10546 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053    / cdiv 9609   RR+crp 10544
This theorem is referenced by:  rpreccl  10567  rphalfcl  10568  rpdivcld  10597  bcrpcl  11526  sqrlem7  11981  caurcvgr  12394  isprm5  13039  4sqlem12  13251  sylow1lem1  15159  metss2lem  18431  metss2  18432  minveclem3  19197  ovoliunlem3  19267  vitalilem4  19370  aaliou3lem8  20129  abelthlem8  20222  pige3  20292  advlogexp  20413  atan1  20635  log2cnv  20651  cxp2limlem  20681  harmonicbnd4  20716  basellem1  20730  logexprlim  20876  logfacrlim2  20877  bcmono  20928  bposlem1  20935  bposlem7  20941  bposlem9  20943  rplogsumlem1  21045  dchrisumlem3  21052  dchrvmasum2lem  21057  dchrvmasum2if  21058  dchrvmasumlem2  21059  dchrvmasumlem3  21060  dchrvmasumiflem2  21063  dchrisum0lem2a  21078  dchrisum0lem2  21079  mudivsum  21091  mulogsumlem  21092  mulogsum  21093  mulog2sumlem1  21095  mulog2sumlem2  21096  mulog2sumlem3  21097  selberglem1  21106  selberglem2  21107  selberg  21109  selberg3lem1  21118  selbergr  21129  pntpbnd1a  21146  pntibndlem1  21150  pntibndlem3  21153  pntlema  21157  pntlemb  21158  pntlemg  21159  pntlemr  21163  pntlemj  21164  pntlemf  21166  smcnlem  22041  blocnilem  22153  minvecolem3  22226  nmcexi  23377  circum  24890  faclim  25123  itg2addnclem2  25958  itg2addnc  25959  heiborlem5  26215  heiborlem7  26217  proot1ex  27189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-rp 10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator