MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Unicode version

Theorem rpdivcl 10392
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10376 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 10386 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 9495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1152 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 10372 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 10372 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 9640 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 10372 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883    / cdiv 9439   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  rpreccl  10393  rphalfcl  10394  rpdivcld  10423  bcrpcl  11337  sqrlem7  11750  caurcvgr  12162  isprm5  12807  4sqlem12  13019  sylow1lem1  14925  metss2lem  18073  metss2  18074  minveclem3  18809  ovoliunlem3  18879  vitalilem4  18982  aaliou3lem8  19741  abelthlem8  19831  pige3  19901  advlogexp  20018  atan1  20240  log2cnv  20256  cxp2limlem  20286  harmonicbnd4  20320  basellem1  20334  logexprlim  20480  logfacrlim2  20481  bcmono  20532  bposlem1  20539  bposlem7  20545  bposlem9  20547  rplogsumlem1  20649  dchrisumlem3  20656  dchrvmasum2lem  20661  dchrvmasum2if  20662  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem2  20667  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulogsum  20697  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  mulog2sumlem3  20701  selberglem1  20710  selberglem2  20711  selberg  20713  selberg3lem1  20722  selbergr  20733  pntpbnd1a  20750  pntibndlem1  20754  pntibndlem3  20757  pntlema  20761  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  smcnlem  21286  blocnilem  21398  minvecolem3  21471  nmcexi  22622  rpxdivcld  23134  circum  24022  itg2addnclem2  25004  itg2addnc  25005  equivtotbnd  26605  heiborlem5  26642  heiborlem7  26644  proot1ex  27623  stoweidlem31  27883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator