MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcl 10626
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10610 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 10620 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 9725 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1154 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 10606 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 10606 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 9870 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 466 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 10606 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    / cdiv 9669   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  rpreccl  10627  rphalfcl  10628  rpdivcld  10657  bcrpcl  11591  sqrlem7  12046  caurcvgr  12459  isprm5  13104  4sqlem12  13316  sylow1lem1  15224  metss2lem  18533  metss2  18534  minveclem3  19322  ovoliunlem3  19392  vitalilem4  19495  aaliou3lem8  20254  abelthlem8  20347  pige3  20417  advlogexp  20538  atan1  20760  log2cnv  20776  cxp2limlem  20806  harmonicbnd4  20841  basellem1  20855  logexprlim  21001  logfacrlim2  21002  bcmono  21053  bposlem1  21060  bposlem7  21066  bposlem9  21068  rplogsumlem1  21170  dchrisumlem3  21177  dchrvmasum2lem  21182  dchrvmasum2if  21183  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumlem3  21185  dchrvmasumiflem2  21188  dchrisum0lem2a  21203  dchrisum0lem2  21204  mudivsum  21216  mulogsumlem  21217  mulogsum  21218  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem2  21221  mulog2sumlem3  21222  selberglem1  21231  selberglem2  21232  selberg  21234  selberg3lem1  21243  selbergr  21254  pntpbnd1a  21271  pntibndlem1  21275  pntibndlem3  21278  pntlema  21282  pntlemb  21283  pntlemg  21284  pntlemr  21288  pntlemj  21289  pntlemf  21291  smcnlem  22185  blocnilem  22297  minvecolem3  22370  nmcexi  23521  circum  25103  faclim  25357  mblfinlem2  26235  itg2addnclem2  26247  itg2addnclem3  26248  ftc1anclem7  26276  ftc1anc  26278  heiborlem5  26515  heiborlem7  26517  proot1ex  27488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator