MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Unicode version

Theorem rpdivcld 10423
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 10392 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874    / cdiv 9439   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  bcpasc  11349  mulcn2  12085  o1rlimmul  12108  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  effsumlt  12407  prmind2  12785  nlmvscnlem2  18212  nlmvscnlem1  18213  nghmcn  18270  lebnumlem3  18477  lebnumii  18480  nmoleub3  18616  ipcnlem2  18687  ipcnlem1  18688  equivcfil  18741  equivcau  18742  ovollb2lem  18863  ovoliunlem1  18877  uniioombllem6  18959  itg2const2  19112  itg2cnlem2  19133  aalioulem2  19729  aalioulem4  19731  aalioulem5  19732  aalioulem6  19733  aaliou  19734  aaliou2b  19737  aaliou3lem9  19746  itgulm  19800  abelthlem7  19830  abelthlem8  19831  tanrpcl  19888  logdivlti  19987  logcnlem2  20006  ang180lem2  20124  isosctrlem2  20135  birthdaylem2  20263  cxp2limlem  20286  cxp2lim  20287  cxploglim  20288  cxploglim2  20289  amgmlem  20300  emcllem2  20306  fsumharmonic  20321  ftalem4  20329  chpval2  20473  chpchtsum  20474  logfacrlim  20479  logexprlim  20480  bclbnd  20535  bposlem1  20539  bposlem2  20540  lgsquadlem2  20610  chebbnd1lem1  20634  chebbnd1lem3  20636  chebbnd1  20637  chtppilimlem2  20639  chebbnd2  20642  chto1lb  20643  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrvmasumlem1  20660  dchrvmasum2if  20662  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem2a  20682  vmalogdivsum2  20703  2vmadivsumlem  20705  selberglem3  20712  selberg  20713  selberg4lem1  20725  selberg3r  20734  selberg4r  20735  selberg34r  20736  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6a  20747  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntpbnd1a  20750  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntibndlem3  20757  pntlemd  20759  pntlemc  20760  pntlema  20761  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemn  20765  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemo  20772  pnt2  20778  pnt  20779  ostth2lem3  20800  ostth2  20802  blocni  21399  ubthlem2  21466  lnconi  22629  rrncmslem  26659  rrnequiv  26662  irrapxlem5  27014  stoweidlem59  27911  stoweidlem62  27914  stoweid  27915  wallispilem3  27919  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  stirlinglem2  27927  stirlinglem4  27929  stirlinglem8  27933  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator