MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcld 10666
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 10635 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6082    / cdiv 9678   RR+crp 10613
This theorem is referenced by:  bcpasc  11613  mulcn2  12390  o1rlimmul  12413  mertenslem1  12662  mertenslem2  12663  effsumlt  12713  prmind2  13091  nlmvscnlem2  18722  nlmvscnlem1  18723  nghmcn  18780  lebnumlem3  18989  lebnumii  18992  nmoleub3  19128  ipcnlem2  19199  ipcnlem1  19200  equivcfil  19253  equivcau  19254  ovollb2lem  19385  ovoliunlem1  19399  uniioombllem6  19481  itg2const2  19634  itg2cnlem2  19655  aalioulem2  20251  aalioulem4  20253  aalioulem5  20254  aalioulem6  20255  aaliou  20256  aaliou2b  20259  aaliou3lem9  20268  itgulm  20325  abelthlem7  20355  abelthlem8  20356  tanrpcl  20413  logdivlti  20516  logcnlem2  20535  ang180lem2  20653  isosctrlem2  20664  birthdaylem2  20792  cxp2limlem  20815  cxp2lim  20816  cxploglim  20817  cxploglim2  20818  amgmlem  20829  logdiflbnd  20834  emcllem2  20836  fsumharmonic  20851  ftalem4  20859  chpval2  21003  chpchtsum  21004  logfacrlim  21009  logexprlim  21010  bclbnd  21065  bposlem1  21069  bposlem2  21070  lgsquadlem2  21140  chebbnd1lem1  21164  chebbnd1lem3  21166  chebbnd1  21167  chtppilimlem2  21169  chebbnd2  21172  chto1lb  21173  rplogsumlem2  21180  rpvmasumlem  21182  dchrvmasumlem1  21190  dchrvmasum2if  21192  dchrisum0lem1b  21210  dchrisum0lem2a  21212  vmalogdivsum2  21233  2vmadivsumlem  21235  selberglem3  21242  selberg  21243  selberg4lem1  21255  selberg3r  21264  selberg4r  21265  selberg34r  21266  pntrlog2bndlem1  21272  pntrlog2bndlem2  21273  pntrlog2bndlem3  21274  pntrlog2bndlem4  21275  pntrlog2bndlem5  21276  pntrlog2bndlem6a  21277  pntrlog2bndlem6  21278  pntrlog2bnd  21279  pntpbnd1a  21280  pntpbnd1  21281  pntpbnd2  21282  pntibndlem2  21286  pntibndlem3  21287  pntlemd  21289  pntlemc  21290  pntlema  21291  pntlemb  21292  pntlemg  21293  pntlemn  21295  pntlemq  21296  pntlemr  21297  pntlemj  21298  pntlemf  21300  pntlemo  21302  pnt2  21308  pnt  21309  ostth2lem3  21330  ostth2  21332  blocni  22307  ubthlem2  22374  lnconi  23537  rpxdivcld  24181  lgamgulmlem2  24815  lgamgulmlem3  24816  lgamgulmlem4  24817  lgamgulmlem5  24818  lgamgulmlem6  24819  lgamgulm2  24821  lgamucov  24823  lgamcvg2  24840  gamcvg  24841  gamcvg2lem  24844  regamcl  24846  relgamcl  24847  lgam1  24849  faclimlem1  25363  faclimlem3  25365  faclim  25366  iprodfac  25367  equivtotbnd  26488  rrncmslem  26542  rrnequiv  26545  irrapxlem5  26890  stoweidlem31  27757  stoweidlem59  27785  wallispilem3  27793  wallispilem4  27794  wallispilem5  27795  wallispi  27796  wallispi2lem1  27797  stirlinglem2  27801  stirlinglem4  27803  stirlinglem8  27807  stirlinglem13  27812  stirlinglem14  27813  stirlinglem15  27814  stirlingr  27816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-rp 10614
  Copyright terms: Public domain W3C validator