MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Unicode version

Theorem rpdivcld 10407
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpdivcl 10376 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    / cdiv 9423   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  bcpasc  11333  mulcn2  12069  o1rlimmul  12092  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  effsumlt  12391  prmind2  12769  nlmvscnlem2  18196  nlmvscnlem1  18197  nghmcn  18254  lebnumlem3  18461  lebnumii  18464  nmoleub3  18600  ipcnlem2  18671  ipcnlem1  18672  equivcfil  18725  equivcau  18726  ovollb2lem  18847  ovoliunlem1  18861  uniioombllem6  18943  itg2const2  19096  itg2cnlem2  19117  aalioulem2  19713  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  aaliou  19718  aaliou2b  19721  aaliou3lem9  19730  itgulm  19784  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  tanrpcl  19872  logdivlti  19971  logcnlem2  19990  ang180lem2  20108  isosctrlem2  20119  birthdaylem2  20247  cxp2limlem  20270  cxp2lim  20271  cxploglim  20272  cxploglim2  20273  amgmlem  20284  emcllem2  20290  fsumharmonic  20305  ftalem4  20313  chpval2  20457  chpchtsum  20458  logfacrlim  20463  logexprlim  20464  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem2  20524  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem2  20623  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2if  20646  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem2a  20666  vmalogdivsum2  20687  2vmadivsumlem  20689  selberglem3  20696  selberg  20697  selberg4lem1  20709  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6a  20731  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntibndlem3  20741  pntlemd  20743  pntlemc  20744  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemg  20747  pntlemn  20749  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemo  20756  pnt2  20762  pnt  20763  ostth2lem3  20784  ostth2  20786  blocni  21383  ubthlem2  21450  lnconi  22613  rrncmslem  26556  rrnequiv  26559  irrapxlem5  26911  stoweidlem59  27808  stoweidlem62  27811  stoweid  27812  wallispilem3  27816  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  stirlinglem2  27824  stirlinglem4  27826  stirlinglem8  27830  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator