MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Unicode version

Theorem rpexpcl 11355
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 10583 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 448 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 10578 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 9003 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3317 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 10589 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 10572 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 10591 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 11348 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1184 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    / cdiv 9633   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  expgt0  11368  ltexp2a  11386  expcan  11387  ltexp2  11388  leexp2a  11390  ltexp2r  11391  expnlbnd2  11465  rpexpcld  11501  expcnv  12598  effsumlt  12667  ef01bndlem  12740  rpnnen2lem11  12779  iscmet3lem3  19196  iscmet3lem1  19197  iscmet3lem2  19198  iscmet3  19199  minveclem3  19283  pjthlem1  19291  aaliou3lem1  20212  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem3  20214  aaliou3lem8  20215  aaliou3lem5  20217  aaliou3lem6  20218  aaliou3lem7  20219  aaliou3lem9  20220  tanregt0  20394  asinlem3  20664  cxp2limlem  20767  ftalem5  20812  basellem3  20818  basellem4  20819  basellem8  20823  chebbnd1lem3  21118  dchrisum0lem1a  21133  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  pntlemd  21241  pntlema  21243  pntlemb  21244  pntlemh  21246  pntlemr  21249  pntlemi  21251  pntlemf  21252  pntlemo  21254  pntlem3  21256  pntleml  21258  ostth2lem1  21265  ostth3  21285  minvecolem3  22331  pjhthlem1  22846  dya2icoseg  24580  faclimlem3  25312  geomcau  26355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator