MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Unicode version

Theorem rpexpcl 11122
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 10369 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 447 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 10364 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 8794 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3188 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 10375 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 10358 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 10377 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 11115 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1182 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    / cdiv 9423   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expgt0  11135  ltexp2a  11153  expcan  11154  ltexp2  11155  leexp2a  11157  ltexp2r  11158  expnlbnd2  11232  rpexpcld  11268  expcnv  12322  effsumlt  12391  ef01bndlem  12464  rpnnen2lem11  12503  iscmet3lem3  18716  iscmet3lem1  18717  iscmet3lem2  18718  iscmet3  18719  minveclem3  18793  pjthlem1  18801  aaliou3lem1  19722  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem3  19724  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem5  19727  aaliou3lem6  19728  aaliou3lem7  19729  aaliou3lem9  19730  tanregt0  19901  asinlem3  20167  cxp2limlem  20270  ftalem5  20314  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem8  20325  chebbnd1lem3  20620  dchrisum0lem1a  20635  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  pntlemd  20743  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemh  20748  pntlemr  20751  pntlemi  20753  pntlemf  20754  pntlemo  20756  pntlem3  20758  pntleml  20760  ostth2lem1  20767  ostth3  20787  minvecolem3  21455  pjhthlem1  21970  dya2iocseg  23579  geomcau  26475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator