MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Unicode version

Theorem rpexpcl 11212
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 10458 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 447 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 10453 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 8881 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3264 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 10464 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 10447 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 10466 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 11205 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1182 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    =/= wne 2521  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    / cdiv 9510   ZZcz 10113   RR+crp 10443   ^cexp 11194
This theorem is referenced by:  expgt0  11225  ltexp2a  11243  expcan  11244  ltexp2  11245  leexp2a  11247  ltexp2r  11248  expnlbnd2  11322  rpexpcld  11358  expcnv  12413  effsumlt  12482  ef01bndlem  12555  rpnnen2lem11  12594  iscmet3lem3  18814  iscmet3lem1  18815  iscmet3lem2  18816  iscmet3  18817  minveclem3  18891  pjthlem1  18899  aaliou3lem1  19820  aaliou3lem2  19821  aaliou3lem3  19822  aaliou3lem8  19823  aaliou3lem5  19825  aaliou3lem6  19826  aaliou3lem7  19827  aaliou3lem9  19828  tanregt0  20002  asinlem3  20272  cxp2limlem  20375  ftalem5  20420  basellem3  20426  basellem4  20427  basellem8  20431  chebbnd1lem3  20726  dchrisum0lem1a  20741  dchrisum0lem1b  20770  dchrisum0lem1  20771  dchrisum0lem2a  20772  dchrisum0lem2  20773  dchrisum0lem3  20774  pntlemd  20849  pntlema  20851  pntlemb  20852  pntlemh  20854  pntlemr  20857  pntlemi  20859  pntlemf  20860  pntlemo  20862  pntlem3  20864  pntleml  20866  ostth2lem1  20873  ostth3  20893  minvecolem3  21563  pjhthlem1  22078  dya2icoseg  23891  faclimlem3  24656  geomcau  25799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-seq 11136  df-exp 11195
  Copyright terms: Public domain W3C validator