MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcld Unicode version

Theorem rpexpcld 11505
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
rpexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcld
StepHypRef Expression
1 rpexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
3 rpexpcl 11359 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6044   ZZcz 10242   RR+crp 10572   ^cexp 11341
This theorem is referenced by:  bitsfzolem  12905  bitsfzo  12906  bitsmod  12907  bitsinv1  12913  sadasslem  12941  sadeq  12943  plyeq0lem  20086  aalioulem4  20209  aalioulem5  20210  aalioulem6  20211  aaliou  20212  aaliou3lem8  20219  ftalem5  20816  basellem3  20822  rplogsumlem2  21136  rpvmasumlem  21138  pntlemh  21250  pntlemq  21252  pntlemr  21253  pntlemj  21254  pntlemf  21256  padicabv  21281  ostth2lem3  21286  nnlogbexp  24361  dya2ub  24577  dya2iocress  24581  dya2iocbrsiga  24582  dya2icobrsiga  24583  sxbrsigalem2  24593  lgamgulmlem3  24772  faclim  25317  iprodfac  25318  geomcau  26359  pellfund14  26855  stirlinglem1  27694  stirlinglem2  27695  stirlinglem4  27697  stirlinglem8  27701  stirlinglem10  27703  stirlinglem11  27704  stirlinglem13  27706  stirlinglem14  27707  stirlinglem15  27708  stirlingr  27710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342
  Copyright terms: Public domain W3C validator