MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Unicode version

Theorem rpge0 10556
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 10550 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpgt0 10555 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
3 0re 9024 . . 3  |-  0  e.  RR
4 ltle 9096 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
53, 4mpan 652 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
61, 2, 5sylc 58 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053    <_ cle 9054   RR+crp 10544
This theorem is referenced by:  rprege0  10558  rpge0d  10584  xralrple  10723  xlemul1  10801  sqrlem1  11975  rpsqrcl  11997  divrcnv  12559  ef01bndlem  12712  stdbdmet  18436  reconnlem2  18729  cphsqrcl3  19021  iscmet3lem3  19114  minveclem3  19197  itg2const2  19500  itg2mulclem  19505  aalioulem2  20117  pige3  20292  argregt0  20372  argrege0  20373  cxpcn3  20499  cxplim  20677  cxp2lim  20682  divsqrsumlem  20685  logdiflbnd  20700  basellem4  20733  ppiltx  20827  bposlem8  20942  bposlem9  20943  chebbnd1  21033  mulog2sumlem2  21096  selbergb  21110  selberg2b  21113  nmcexi  23377  nmcopexi  23378  nmcfnexi  23402  sqsscirc1  24110  subfacval3  24654  itg2addnclem  25957  itg2addnc  25959  itg2gt0cn  25960  areacirclem2  25982  areacirclem3  25983  areacirclem5  25986  areacirc  25988  cntotbnd  26196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-rp 10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator