MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Unicode version

Theorem rpge0 10616
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 10610 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpgt0 10615 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
3 0re 9083 . . 3  |-  0  e.  RR
4 ltle 9155 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
53, 4mpan 652 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
61, 2, 5sylc 58 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  rprege0  10618  rpge0d  10644  xralrple  10783  xlemul1  10861  sqrlem1  12040  rpsqrcl  12062  divrcnv  12624  ef01bndlem  12777  stdbdmet  18538  reconnlem2  18850  cphsqrcl3  19142  iscmet3lem3  19235  minveclem3  19322  itg2const2  19625  itg2mulclem  19630  aalioulem2  20242  pige3  20417  argregt0  20497  argrege0  20498  cxpcn3  20624  cxplim  20802  cxp2lim  20807  divsqrsumlem  20810  logdiflbnd  20825  basellem4  20858  ppiltx  20952  bposlem8  21067  bposlem9  21068  chebbnd1  21158  mulog2sumlem2  21221  selbergb  21235  selberg2b  21238  nmcexi  23521  nmcopexi  23522  nmcfnexi  23546  sqsscirc1  24298  subfacval3  24867  itg2addnclem  26246  itg2gt0cn  26250  areacirclem2  26272  areacirclem3  26273  areacirclem5  26276  areacirc  26278  cntotbnd  26486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator