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Theorem rplogsumlem1 21047
Description: Lemma for rplogsum 21090. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11241 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ... A )  e. 
Fin )
2 elfzuz 10989 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3 eluz2b2 10482 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
43simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  NN )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  NN )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 10581 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 20387 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
92adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
10 uz2m1nn 10484 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  -  1 )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN )
126, 11nnmulcld 9981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  NN )
138, 12nndivred 9982 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
141, 13fsumrecl 12457 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
15 2re 10003 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1611nnrpd 10581 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR+ )
1716rpsqrcld 12143 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR+ )
18 rerpdivcl 10573 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
1915, 17, 18sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  e.  RR )
207rpsqrcld 12143 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
21 rerpdivcl 10573 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  n )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  n ) )  e.  RR )
2215, 20, 21sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  n
) )  e.  RR )
2319, 22resubcld 9399 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
241, 23fsumrecl 12457 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
2515a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  2  e.  RR )
2617rpred 10582 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
276nnred 9949 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR )
28 peano2rem 9301 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9051 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
3130, 23remulcld 9051 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  e.  RR )
326nncnd 9950 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  CC )
33 ax-1cn 8983 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
34 npcan 9248 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
3532, 33, 34sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
3635fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
3716rpge0d 10586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
n  -  1 ) )
38 loglesqr 20511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4036, 39eqbrtrrd 4177 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4120rpred 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR )
4241, 26readdcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
43 remulcl 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  n
)  x.  2 )  e.  RR )
4441, 15, 43sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  e.  RR )
4541, 26resubcld 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR )
4627lem1d 9878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
477rpge0d 10586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  n
)
4829, 37, 27, 47sqrled 12158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  <_  n 
<->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
4946, 48mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) )
5041, 26subge0d 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <->  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
5149, 50mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )
5226, 41, 41, 49leadd2dd 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5320rpcnd 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  CC )
5453times2d 10145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  =  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5552, 54breqtrrd 4181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  x.  2 ) )
5642, 44, 45, 51, 55lemul1ad 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
5732sqsqrd 12170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  =  n )
58 subcl 9239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
5932, 33, 58sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
6059sqsqrd 12170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( n  -  1 ) )
6157, 60oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( n  -  ( n  - 
1 ) ) )
6217rpcnd 10584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
63 subsq 11417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
6453, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
65 nncan 9264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  (
n  -  1 ) )  =  1 )
6632, 33, 65sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
6761, 64, 663eqtr3d 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  1 )
68 2cn 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  2  e.  CC )
7045recnd 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
7153, 69, 70mulassd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
7256, 67, 713brtr3d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  <_  (
( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
73 1re 9025 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  e.  RR )
75 remulcl 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7615, 45, 75sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7741, 76remulcld 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
7874, 77, 17lemul1d 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  <_ 
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  <->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
7972, 78mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
8062mulid2d 9041 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
8176recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
8253, 81, 62mul32d 9210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
8379, 80, 823brtr3d 4184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
84 remsqsqr 11991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
8527, 47, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
86 remsqsqr 11991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( n  -  1 ) )
8729, 37, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
8885, 87oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )
8953, 53, 62, 62mul4d 9212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9088, 89eqtr3d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9117rpcnne0d 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  =/=  0 ) )
9220rpcnne0d 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  e.  CC  /\  ( sqr `  n
)  =/=  0 ) )
93 divsubdiv 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC )  /\  ( ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  - 
1 ) )  =/=  0 )  /\  (
( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  n )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9469, 69, 91, 92, 93syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
9569, 53, 62subdid 9423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9653, 62mulcomd 9044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
9795, 96oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9894, 97eqtr4d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
9990, 98oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
10053, 62mulcld 9043 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
10120, 17rpmulcld 10598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
10276, 101rerpdivcld 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
103102recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
104100, 100, 103mulassd 9046 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
105101rpne0d 10587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
10681, 100, 105divcan2d 9726 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
107106oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10899, 104, 1073eqtrd 2425 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10983, 108breqtrrd 4181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
1108, 26, 31, 40, 109letrd 9161 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
11112nngt0d 9977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )
112 ledivmul 9817 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR  /\  (
( n  x.  (
n  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
1138, 23, 30, 111, 112syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
1151, 13, 23, 114fsumle 12507 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
116 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
117116fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )
118117oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
119 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
120119fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
121120oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
122 oveq1 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
123 2m1e1 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  1 )  =  1
124122, 123syl6eq 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  1 )
125124fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  1
) )
126 sqr1 12006 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  1 )  =  1
127125, 126syl6eq 2437 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  1 )
128127oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  1
) )
12968div1i 9676 . . . . . 6  |-  ( 2  /  1 )  =  2
130128, 129syl6eq 2437 . . . . 5  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  2 )
131 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )
132131fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) )
133132oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
134 nnz 10237 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
135 eluzp1p1 10445 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
136 nnuz 10455 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
137135, 136eleq2s 2481 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) ) )
138 df-2 9992 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
139138fveq2i 5673 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
140137, 139syl6eleqr 2480 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
141 elfzuz 10989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
142 uz2m1nn 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
144143adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN )
145144nnrpd 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR+ )
146145rpsqrcld 12143 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( sqr `  (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
147 rerpdivcl 10573 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( k  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
14815, 146, 147sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  RR )
149148recnd 9049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
150118, 121, 130, 133, 134, 140, 149fsumtscop 12512 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
151 pncan 9245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
15232, 33, 151sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
153152fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( sqr `  n ) )
154153oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )
155154oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
156155sumeq2dv 12426 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 2 ... A ) ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
157 nncn 9942 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
158 pncan 9245 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
159157, 33, 158sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
160159fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( sqr `  A
) )
161160oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
162161oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  (
2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
163150, 156, 1623eqtr3d 2429 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
164 2rp 10551 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
165 nnrp 10555 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
166165rpsqrcld 12143 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  RR+ )
167 rpdivcl 10568 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  A )  e.  RR+ )  ->  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  e.  RR+ )
168164, 166, 167sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR+ )
169168rpge0d 10586 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
170168rpred 10582 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
171 subge02 9477 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
2  /  ( sqr `  A ) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
17215, 170, 171sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
173169, 172mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 )
174163, 173eqbrtrd 4175 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <_  2 )
17514, 24, 25, 115, 174letrd 9161 1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   ...cfz 10977   ^cexp 11311   sqrcsqr 11967   sum_csu 12408   logclog 20321
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  21048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-tan 12603  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323  df-cxp 20324
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