MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Unicode version

Theorem rpmulcld 10406
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpmulcl 10375 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    x. cmul 8742   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  reccn2  12070  eirrlem  12482  nrginvrcnlem  18201  ovolscalem1  18872  itg2gt0  19115  aaliou3lem1  19722  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  cosordlem  19893  logcnlem2  19990  cxp2limlem  20270  lgsquadlem2  20594  chtppilimlem1  20622  chtppilim  20624  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  rplogsumlem1  20633  dchrvmasumlem1  20644  chpdifbndlem1  20702  chpdifbndlem2  20703  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntpbnd2  20736  pntlemd  20743  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemo  20756  pntlem3  20758  pntleml  20760  pnt  20763  rrndstprj2  26555  pellfund14  26983  wallispilem3  27816  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  stirlinglem2  27824  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator