Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulgcd2 Unicode version

Theorem rpmulgcd2 13056
 Description: If is relatively prime to , then the GCD of with is the product of the GCDs with and respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpmulgcd2

Proof of Theorem rpmulgcd2
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3
2 simpl2 961 . . . 4
3 simpl3 962 . . . 4
42, 3zmulcld 10335 . . 3
51, 4gcdcld 12969 . 2
61, 2gcdcld 12969 . . 3
71, 3gcdcld 12969 . . 3
86, 7nn0mulcld 10233 . 2
9 mulgcddvds 13055 . . 3
11 gcddvds 12966 . . . . . 6
121, 2, 11syl2anc 643 . . . . 5
1312simpld 446 . . . 4
14 gcddvds 12966 . . . . . 6
151, 3, 14syl2anc 643 . . . . 5
1615simpld 446 . . . 4
176nn0zd 10327 . . . . 5
187nn0zd 10327 . . . . 5
19 gcddvds 12966 . . . . . . . . . . 11
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
2120simpld 446 . . . . . . . . 9
2212simprd 450 . . . . . . . . 9
2317, 18gcdcld 12969 . . . . . . . . . . 11
2423nn0zd 10327 . . . . . . . . . 10
25 dvdstr 12834 . . . . . . . . . 10
2624, 17, 2, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
2721, 22, 26mp2and 661 . . . . . . . 8
2820simprd 450 . . . . . . . . 9
2915simprd 450 . . . . . . . . 9
30 dvdstr 12834 . . . . . . . . . 10
3124, 18, 3, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
3228, 29, 31mp2and 661 . . . . . . . 8
33 dvdsgcd 12994 . . . . . . . . 9
3424, 2, 3, 33syl3anc 1184 . . . . . . . 8
3527, 32, 34mp2and 661 . . . . . . 7
36 simpr 448 . . . . . . 7
3735, 36breqtrd 4194 . . . . . 6
38 dvds1 12849 . . . . . . 7
3923, 38syl 16 . . . . . 6
4037, 39mpbid 202 . . . . 5
41 coprmdvds2 13054 . . . . 5
4217, 18, 1, 40, 41syl31anc 1187 . . . 4
4313, 16, 42mp2and 661 . . 3
44 dvdscmul 12827 . . . . . 6
4518, 3, 17, 44syl3anc 1184 . . . . 5
46 dvdsmulc 12828 . . . . . 6
4717, 2, 3, 46syl3anc 1184 . . . . 5
4817, 18zmulcld 10335 . . . . . 6
4917, 3zmulcld 10335 . . . . . 6
50 dvdstr 12834 . . . . . 6
5148, 49, 4, 50syl3anc 1184 . . . . 5
5245, 47, 51syl2and 470 . . . 4
5329, 22, 52mp2and 661 . . 3
54 dvdsgcd 12994 . . . 4
5548, 1, 4, 54syl3anc 1184 . . 3
5643, 53, 55mp2and 661 . 2
57 dvdseq 12848 . 2
585, 8, 10, 56, 57syl22anc 1185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4170  (class class class)co 6038  c1 8945   cmul 8949  cn0 10175  cz 10236   cdivides 12803   cgcd 12957 This theorem is referenced by:  dvdsmulf1o  20928 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2383  ax-sep 4288  ax-nul 4296  ax-pow 4335  ax-pr 4361  ax-un 4658  ax-cnex 9000  ax-resscn 9001  ax-1cn 9002  ax-icn 9003  ax-addcl 9004  ax-addrcl 9005  ax-mulcl 9006  ax-mulrcl 9007  ax-mulcom 9008  ax-addass 9009  ax-mulass 9010  ax-distr 9011  ax-i2m1 9012  ax-1ne0 9013  ax-1rid 9014  ax-rnegex 9015  ax-rrecex 9016  ax-cnre 9017  ax-pre-lttri 9018  ax-pre-lttrn 9019  ax-pre-ltadd 9020  ax-pre-mulgt0 9021  ax-pre-sup 9022 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2389  df-cleq 2395  df-clel 2398  df-nfc 2527  df-ne 2567  df-nel 2568  df-ral 2669  df-rex 2670  df-reu 2671  df-rmo 2672  df-rab 2673  df-v 2916  df-sbc 3120  df-csb 3210  df-dif 3281  df-un 3283  df-in 3285  df-ss 3292  df-pss 3294  df-nul 3587  df-if 3698  df-pw 3759  df-sn 3778  df-pr 3779  df-tp 3780  df-op 3781  df-uni 3974  df-iun 4053  df-br 4171  df-opab 4225  df-mpt 4226  df-tr 4261  df-eprel 4452  df-id 4456  df-po 4461  df-so 4462  df-fr 4499  df-we 4501  df-ord 4542  df-on 4543  df-lim 4544  df-suc 4545  df-om 4803  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5375  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6041  df-oprab 6042  df-mpt2 6043  df-2nd 6307  df-riota 6506  df-recs 6590  df-rdg 6625  df-er 6862  df-en 7067  df-dom 7068  df-sdom 7069  df-sup 7402  df-pnf 9076  df-mnf 9077  df-xr 9078  df-ltxr 9079  df-le 9080  df-sub 9247  df-neg 9248  df-div 9632  df-nn 9955  df-2 10012  df-3 10013  df-n0 10176  df-z 10237  df-uz 10443  df-rp 10567  df-fl 11153  df-mod 11202  df-seq 11275  df-exp 11334  df-cj 11855  df-re 11856  df-im 11857  df-sqr 11991  df-abs 11992  df-dvds 12804  df-gcd 12958
 Copyright terms: Public domain W3C validator