Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen 12831
 Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of . This is a stronger statement than ruc 12847, which only asserts that is uncountable, i.e. has a cardinality larger than . The main proof is in two parts, rpnnen1 10610 and rpnnen2 12830, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 7230 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen

Proof of Theorem rpnnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6091 . . . . . 6
21breq1d 4225 . . . . 5
32cbvrabv 2957 . . . 4
4 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11
54breq1d 4225 . . . . . . . . . 10
65rabbidv 2950 . . . . . . . . 9
76supeq1d 7454 . . . . . . . 8
8 id 21 . . . . . . . 8
97, 8oveq12d 6102 . . . . . . 7
109cbvmptv 4303 . . . . . 6
11 breq2 4219 . . . . . . . . . 10
1211rabbidv 2950 . . . . . . . . 9
1312supeq1d 7454 . . . . . . . 8
1413oveq1d 6099 . . . . . . 7
1514mpteq2dv 4299 . . . . . 6
1610, 15syl5eq 2482 . . . . 5
1716cbvmptv 4303 . . . 4
183, 17rpnnen1 10610 . . 3
19 qnnen 12818 . . . . . . 7
20 nnex 10011 . . . . . . . 8
2120canth2 7263 . . . . . . 7
22 ensdomtr 7246 . . . . . . 7
2319, 21, 22mp2an 655 . . . . . 6
24 sdomdom 7138 . . . . . 6
25 mapdom1 7275 . . . . . 6
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . 5
2720pw2en 7218 . . . . . 6
2820enref 7143 . . . . . 6
29 mapen 7274 . . . . . 6
3027, 28, 29mp2an 655 . . . . 5
31 domentr 7169 . . . . 5
3226, 30, 31mp2an 655 . . . 4
33 2onn 6886 . . . . . . 7
34 mapxpen 7276 . . . . . . 7
3533, 20, 20, 34mp3an 1280 . . . . . 6
3633elexi 2967 . . . . . . . 8
3736enref 7143 . . . . . . 7
38 xpnnen 12813 . . . . . . 7
39 mapen 7274 . . . . . . 7
4037, 38, 39mp2an 655 . . . . . 6
4135, 40entri 7164 . . . . 5
4241, 27entr4i 7167 . . . 4
43 domentr 7169 . . . 4
4432, 42, 43mp2an 655 . . 3
45 domtr 7163 . . 3
4618, 44, 45mp2an 655 . 2
47 elequ2 1731 . . . . . . . 8
4847ifbid 3759 . . . . . . 7
4948mpteq2dv 4299 . . . . . 6
50 elequ1 1729 . . . . . . . 8
51 oveq2 6092 . . . . . . . 8
52 eqidd 2439 . . . . . . . 8
5350, 51, 52ifbieq12d 3763 . . . . . . 7
5453cbvmptv 4303 . . . . . 6
5549, 54syl6eq 2486 . . . . 5
5655cbvmptv 4303 . . . 4
5756rpnnen2 12830 . . 3
58 reex 9086 . . . 4
59 unitssre 11047 . . . 4
60 ssdomg 7156 . . . 4
6158, 59, 60mp2 9 . . 3
62 domtr 7163 . . 3
6357, 61, 62mp2an 655 . 2
64 sbth 7230 . 2
6546, 63, 64mp2an 655 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cif 3741  cpw 3801   class class class wbr 4215   cmpt 4269  com 4848   cxp 4879  (class class class)co 6084  c2o 6721   cmap 7021   cen 7109   cdom 7110   csdm 7111  csup 7448  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   clt 9125   cdiv 9682  cn 10005  c3 10055  cz 10287  cq 10579  cicc 10924  cexp 11387 This theorem is referenced by:  rexpen  12832  cpnnen  12833  rucALT  12834  cnso  12851  2ndcredom  17518  opnreen  18867 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
 Copyright terms: Public domain W3C validator