Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen Unicode version

Theorem rpnnen 12602
 Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of . This is a stronger statement than ruc 12618, which only asserts that is uncountable, i.e. has a cardinality larger than . The main proof is in two parts, rpnnen1 10439 and rpnnen2 12601, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 7069 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen

Proof of Theorem rpnnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5952 . . . . . 6
21breq1d 4114 . . . . 5
32cbvrabv 2863 . . . 4
4 oveq2 5953 . . . . . . . . . . 11
54breq1d 4114 . . . . . . . . . 10
65rabbidv 2856 . . . . . . . . 9
76supeq1d 7289 . . . . . . . 8
8 id 19 . . . . . . . 8
97, 8oveq12d 5963 . . . . . . 7
109cbvmptv 4192 . . . . . 6
11 breq2 4108 . . . . . . . . . 10
1211rabbidv 2856 . . . . . . . . 9
1312supeq1d 7289 . . . . . . . 8
1413oveq1d 5960 . . . . . . 7
1514mpteq2dv 4188 . . . . . 6
1610, 15syl5eq 2402 . . . . 5
1716cbvmptv 4192 . . . 4
183, 17rpnnen1 10439 . . 3
19 qnnen 12589 . . . . . . 7
20 nnex 9842 . . . . . . . 8
2120canth2 7102 . . . . . . 7
22 ensdomtr 7085 . . . . . . 7
2319, 21, 22mp2an 653 . . . . . 6
24 sdomdom 6977 . . . . . 6
25 mapdom1 7114 . . . . . 6
2623, 24, 25mp2b 9 . . . . 5
2720pw2en 7057 . . . . . 6
2820enref 6982 . . . . . 6
29 mapen 7113 . . . . . 6
3027, 28, 29mp2an 653 . . . . 5
31 domentr 7008 . . . . 5
3226, 30, 31mp2an 653 . . . 4
33 2onn 6725 . . . . . . 7
34 mapxpen 7115 . . . . . . 7
3533, 20, 20, 34mp3an 1277 . . . . . 6
3633elexi 2873 . . . . . . . 8
3736enref 6982 . . . . . . 7
38 xpnnen 12584 . . . . . . 7
39 mapen 7113 . . . . . . 7
4037, 38, 39mp2an 653 . . . . . 6
4135, 40entri 7003 . . . . 5
4241, 27entr4i 7006 . . . 4
43 domentr 7008 . . . 4
4432, 42, 43mp2an 653 . . 3
45 domtr 7002 . . 3
4618, 44, 45mp2an 653 . 2
47 elequ2 1715 . . . . . . . 8
4847ifbid 3659 . . . . . . 7
4948mpteq2dv 4188 . . . . . 6
50 elequ1 1713 . . . . . . . 8
51 oveq2 5953 . . . . . . . 8
52 eqidd 2359 . . . . . . . 8
5350, 51, 52ifbieq12d 3663 . . . . . . 7
5453cbvmptv 4192 . . . . . 6
5549, 54syl6eq 2406 . . . . 5
5655cbvmptv 4192 . . . 4
5756rpnnen2 12601 . . 3
58 reex 8918 . . . 4
59 0re 8928 . . . . 5
60 1re 8927 . . . . 5
61 iccssre 10823 . . . . 5
6259, 60, 61mp2an 653 . . . 4
63 ssdomg 6995 . . . 4
6458, 62, 63mp2 17 . . 3
65 domtr 7002 . . 3
6657, 64, 65mp2an 653 . 2
67 sbth 7069 . 2
6846, 66, 67mp2an 653 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1642   wcel 1710  crab 2623  cvv 2864   wss 3228  cif 3641  cpw 3701   class class class wbr 4104   cmpt 4158  com 4738   cxp 4769  (class class class)co 5945  c2o 6560   cmap 6860   cen 6948   cdom 6949   csdm 6950  csup 7283  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   clt 8957   cdiv 9513  cn 9836  c3 9886  cz 10116  cq 10408  cicc 10751  cexp 11197 This theorem is referenced by:  rexpen  12603  cpnnen  12604  rucALT  12605  cnso  12622  2ndcredom  17282  opnreen  18439 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256
 Copyright terms: Public domain W3C validator