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Theorem rpnnen1lem3 10602
Description: Lemma for rpnnen1 10605. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
rpnnen1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
Distinct variable groups:    k, F, n, x    T, n
Allowed substitution hints:    T( x, k)

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnexALT 10002 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
21mptex 5966 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )  e.  _V
3 rpnnen1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) )
43fvmpt2 5812 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )  e. 
_V )  ->  ( F `  x )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k ) ) )
52, 4mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k ) ) )
65fveq1d 5730 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  x
) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) ) `  k
) )
7 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
)  e.  _V
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )
98fvmpt2 5812 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) ) `  k
)  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )
107, 9mpan2 653 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) ) `  k )  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  / 
k ) )
116, 10sylan9eq 2488 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  x ) `  k
)  =  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k
) )
12 rpnnen1.1 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }
1312rabeq2i 2953 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  T  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( n  /  k )  < 
x ) )
14 zre 10286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
1514adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
16 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
17 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
18 nngt0 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
1917, 18jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  RR  /\  0  <  k ) )
2019ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  < 
k ) )
21 ltdivmul 9882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
k  e.  RR  /\  0  <  k ) )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  <->  n  <  ( k  x.  x ) ) )
2215, 16, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  <->  n  <  ( k  x.  x ) ) )
2317ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  k  e.  RR )
24 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
2523, 16, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  x )  e.  RR )
26 ltle 9163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( k  x.  x
)  e.  RR )  ->  ( n  < 
( k  x.  x
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  < 
( k  x.  x
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2822, 27sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  /  k )  < 
x  ->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
2928impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  ( n  /  k )  < 
x ) )  ->  n  <_  ( k  x.  x ) )
3013, 29sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  T
)  ->  n  <_  ( k  x.  x ) )
3130ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) )
32 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n  /  k )  < 
x }  C_  ZZ
3312, 32eqsstri 3378 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  ZZ
34 zssre 10289 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
3533, 34sstri 3357 . . . . . . . 8  |-  T  C_  RR
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  T  C_  RR )
3724ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
3817, 37sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  x.  x
)  e.  RR )
39 btwnz 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  x.  x )  e.  RR  ->  ( E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x )  /\  E. n  e.  ZZ  (
k  x.  x )  <  n ) )
4039simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  x.  x )  e.  RR  ->  E. n  e.  ZZ  n  <  (
k  x.  x ) )
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x ) )
4222rexbidva 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  / 
k )  <  x  <->  E. n  e.  ZZ  n  <  ( k  x.  x
) ) )
4341, 42mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. n  e.  ZZ  ( n  /  k
)  <  x )
44 rabn0 3647 . . . . . . . . 9  |-  ( { n  e.  ZZ  | 
( n  /  k
)  <  x }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  /  k
)  <  x )
4543, 44sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }  =/=  (/) )
4612neeq1i 2611 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  (/)  <->  { n  e.  ZZ  |  ( n  / 
k )  <  x }  =/=  (/) )
4745, 46sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  T  =/=  (/) )
48 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( k  x.  x )  ->  (
n  <_  y  <->  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
4948ralbidv 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( k  x.  x )  ->  ( A. n  e.  T  n  <_  y  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5049rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  x
)  e.  RR  /\  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )
5138, 31, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )
52 suprleub 9972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. n  e.  T  n  <_  y )  /\  ( k  x.  x )  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  (
k  x.  x )  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x )  <->  A. n  e.  T  n  <_  ( k  x.  x ) ) )
5431, 53mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_ 
( k  x.  x
) )
5512, 3rpnnen1lem2 10601 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
5655zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR )
57 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
5819adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <  k ) )
59 ledivmul 9883 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <  k ) )  -> 
( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x  <->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x ) ) )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x  <->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  ( k  x.  x ) ) )
6154, 60mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  /  k )  <_  x )
6211, 61eqbrtrd 4232 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  x ) `  k
)  <_  x )
6362ralrimiva 2789 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
)
6412, 3rpnnen1lem1 10600 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN ) )
65 qexALT 10589 . . . . 5  |-  QQ  e.  _V
6665, 1elmap 7042 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  ( QQ  ^m  NN )  <->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
6764, 66sylib 189 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x ) : NN --> QQ )
68 ffn 5591 . . 3  |-  ( ( F `  x ) : NN --> QQ  ->  ( F `  x )  Fn  NN )
69 breq1 4215 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( F `
 x ) `  k )  ->  (
n  <_  x  <->  ( ( F `  x ) `  k )  <_  x
) )
7069ralrn 5873 . . 3  |-  ( ( F `  x )  Fn  NN  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
) )
7167, 68, 703syl 19 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 x ) `  k )  <_  x
) )
7263, 71mpbird 224 1  |-  ( x  e.  RR  ->  A. n  e.  ran  ( F `  x ) n  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   QQcq 10574
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  10603  rpnnen1lem5  10604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-q 10575
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