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Theorem rpnnen1lem5 10604
 Description: Lemma for rpnnen1 10605. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1
rpnnen1.2
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem5
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem rpnnen1lem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1.1 . . . 4
2 rpnnen1.2 . . . 4
31, 2rpnnen1lem3 10602 . . 3
41, 2rpnnen1lem1 10600 . . . . . 6
5 qexALT 10589 . . . . . . 7
6 nnexALT 10002 . . . . . . 7
75, 6elmap 7042 . . . . . 6
84, 7sylib 189 . . . . 5
9 frn 5597 . . . . . 6
10 qssre 10584 . . . . . 6
119, 10syl6ss 3360 . . . . 5
128, 11syl 16 . . . 4
13 1nn 10011 . . . . . . . 8
14 ne0i 3634 . . . . . . . 8
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7
16 fdm 5595 . . . . . . . 8
1716neeq1d 2614 . . . . . . 7
1815, 17mpbiri 225 . . . . . 6
19 dm0rn0 5086 . . . . . . 7
2019necon3bii 2633 . . . . . 6
2118, 20sylib 189 . . . . 5
228, 21syl 16 . . . 4
23 breq2 4216 . . . . . . 7
2423ralbidv 2725 . . . . . 6
2524rspcev 3052 . . . . 5
263, 25mpdan 650 . . . 4
27 id 20 . . . 4
28 suprleub 9972 . . . 4
2912, 22, 26, 27, 28syl31anc 1187 . . 3
303, 29mpbird 224 . 2
311, 2rpnnen1lem4 10603 . . . . . . . . 9
32 resubcl 9365 . . . . . . . . 9
3331, 32mpdan 650 . . . . . . . 8
3433adantr 452 . . . . . . 7
35 posdif 9521 . . . . . . . . . 10
3631, 35mpancom 651 . . . . . . . . 9
3736biimpa 471 . . . . . . . 8
3837gt0ne0d 9591 . . . . . . 7
3934, 38rereccld 9841 . . . . . 6
40 arch 10218 . . . . . 6
4139, 40syl 16 . . . . 5
4241ex 424 . . . 4
431, 2rpnnen1lem2 10601 . . . . . . . . 9
4443zred 10375 . . . . . . . 8
45443adant3 977 . . . . . . 7
4645ltp1d 9941 . . . . . 6
4734, 37jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
48 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nngt0 10029 . . . . . . . . . . . . . 14
5048, 49jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
51 ltrec1 9897 . . . . . . . . . . . . 13
5247, 50, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
5331ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
54 nnrecre 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
56 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14
5753, 55, 56ltaddsub2d 9627 . . . . . . . . . . . . 13
5812adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
59 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
608, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6260, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6358, 62sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6431adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6612, 22, 263jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6967, 62, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7063, 64, 65, 69leadd1dd 9640 . . . . . . . . . . . . . . 15
7163, 65readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7331, 54, 72syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 lelttr 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7771, 73, 74, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
7870, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7978adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
8057, 79sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12
8152, 80sylbid 207 . . . . . . . . . . 11
8243peano2zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584, 1elrab2 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8782, 86sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
891, 88eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 zssre 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9493ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9548, 94sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96 btwnz 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9796simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9895, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 zre 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10250ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103 ltdivmul 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104100, 101, 102, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104rexbidva 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10698, 105mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107 rabn0 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108106, 107sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1091neeq1i 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110108, 109sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1111rabeq2i 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11248ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
113112, 101, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
114 ltle 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115100, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116104, 115sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117116impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118111, 117sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121120ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122121rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12395, 119, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12492, 110, 1233jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126124, 125sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
12787, 126syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
128127ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
12943zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134132, 133jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 divdir 9701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137129, 131, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
1386mptex 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1392fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140138, 139mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144143fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145142, 144mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146141, 145sylan9eq 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147146oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15
148137, 147eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
149148breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13
15082zred 10375 . . . . . . . . . . . . . 14
151150, 44lenltd 9219 . . . . . . . . . . . . 13
152128, 149, 1513imtr3d 259 . . . . . . . . . . . 12
153152adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
15481, 153syld 42 . . . . . . . . . 10
155154exp31 588 . . . . . . . . 9
156155com4l 80 . . . . . . . 8
157156com14 84 . . . . . . 7
1581573imp 1147 . . . . . 6
15946, 158mt2d 111 . . . . 5
160159rexlimdv3a 2832 . . . 4
16142, 160syld 42 . . 3
162161pm2.01d 163 . 2
163 eqlelt 9162 . . 3
16431, 163mpancom 651 . 2
16530, 162, 164mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  csup 7445  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  cz 10282  cq 10574 This theorem is referenced by:  rpnnen1  10605 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-q 10575
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