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Theorem rpnnen2 12520
Description: The other half of rpnnen 12521, where we show an injection from sets of natural numbers to real numbers. The obvious choice for this is binary expansion, but it has the unfortunate property that it does not produce an injection on numbers which end with all 0's or all 1's (the more well-known decimal version of this is 0.999... 12353). Instead, we opt for a ternary expansion, which produces (a scaled version of) the Cantor set. Since the Cantor set is riddled with gaps, we can show that any two sequences that are not equal must differ somewhere, and when they do, they are placed a finite distance apart, thus ensuring that the map is injective.

Our map assigns to each subset  A of the natural numbers the number  sum_ k  e.  A ( 3 ^
-u k )  = 
sum_ k  e.  NN ( ( F `  A ) `  k
), where  ( ( F `  A ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( 3 ^
-u k ) ,  0 ) ) (rpnnen2lem1 12509). This is an infinite sum of real numbers (rpnnen2lem2 12510), and since  A 
C_  B implies  ( F `  A )  <_  ( F `  B ) (rpnnen2lem4 12512) and  ( F `  NN ) converges to  1  /  2 (rpnnen2lem3 12511) by geoisum1 12351, the sum is convergent to some real (rpnnen2lem5 12513 and rpnnen2lem6 12514) by the comparison test for convergence cvgcmp 12290. The comparison test also tells us that  A  C_  B implies  sum_ ( F `  A )  <_ 
sum_ ( F `  B ) (rpnnen2lem7 12515).

Putting it all together, if we have two sets  x  =/=  y, there must differ somewhere, and so there must be an  m such that  A. n  < 
m ( n  e.  x  <->  n  e.  y
) but  m  e.  ( x  \  y ) or vice versa. In this case, we split off the first  m  -  1 terms (rpnnen2lem8 12516) and cancel them (rpnnen2lem10 12518), since these are the same for both sets. For the remaining terms, we use the subset property to establish that  sum_ ( F `
 y )  <_  sum_ ( F `  ( NN  \  { m }
) ) and  sum_ ( F `
 { m }
)  <_  sum_ ( F `
 x ) (where these sums are only over  ( ZZ>= `  m
)), and since  sum_ ( F `
 ( NN  \  { m } ) )  =  ( 3 ^ -u m )  /  2 (rpnnen2lem9 12517) and  sum_ ( F `  { m } )  =  ( 3 ^
-u m ), we establish that  sum_ ( F `
 y )  <  sum_ ( F `  x
) (rpnnen2lem11 12519) so that they must be different. By contraposition, we find that this map is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2
Dummy variables  m  y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . 2  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
2 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  y 
C_  NN )
3 nnuz 10279 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43sumeq1i 12187 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )
5 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
76rpnnen2lem6 12514 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  e.  RR )
85, 7mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  e.  RR )
94, 8syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR )
102, 9syl 15 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  RR )
11 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  1  e.  ZZ )
13 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 y ) `  k )  =  ( ( F `  y
) `  k )
)
146rpnnen2lem2 12510 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  NN  ->  ( F `
 y ) : NN --> RR )
152, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( F `  y ) : NN --> RR )
16 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  y ) `  k
)  e.  RR )
1715, 16sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR )
186rpnnen2lem5 12513 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
192, 5, 18sylancl 643 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
20 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  NN
216rpnnen2lem4 12512 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  y ) `  k )  /\  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2220, 21mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  y ) `  k )  /\  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2322simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  y ) `  k
) )
242, 23sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  (
( F `  y
) `  k )
)
253, 12, 13, 17, 19, 24isumge0 12245 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
) )
26 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
27 rehalfcl 9954 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2928a1i 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
3026a1i 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  1  e.  RR )
316rpnnen2lem7 12515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  1  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  NN ) `  k ) )
3220, 5, 31mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  y ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  1 )
( ( F `  NN ) `  k ) )
332, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  NN ) `
 k ) )
34 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
35 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( F `
 NN ) `  k ) )
36 elnnuz 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
376rpnnen2lem2 12510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  C_  NN  ->  ( F `  NN ) : NN --> RR )
3820, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 NN ) : NN --> RR
3938ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
4039recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
4136, 40sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
4241adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( F `  NN ) `  k )  e.  CC )
436rpnnen2lem3 12511 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  /  2 ) )
4534, 12, 35, 42, 44isumclim 12236 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  NN ) `
 k )  =  ( 1  /  2
) )
4633, 45breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( ( F `  y ) `
 k )  <_ 
( 1  /  2
) )
474, 46syl5eqbr 4072 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  ( 1  /  2
) )
48 halflt1 9949 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
4928, 26, 48ltleii 8957 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
5049a1i 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  ( 1  /  2 )  <_  1 )
5110, 29, 30, 47, 50letrd 8989 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  1 )
52 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5352, 26elicc2i 10732 . . . 4  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  ( 0 [,] 1
)  <->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  /\  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  <_  1 ) )
5410, 25, 51, 53syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( y  e.  ~P NN  ->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  e.  ( 0 [,] 1
) )
55 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P NN  ->  z 
C_  NN )
56 ssdifss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  NN  ->  ( y 
\  z )  C_  NN )
57 ssdifss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  NN  ->  ( z 
\  y )  C_  NN )
58 unss 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  z
)  C_  NN  /\  (
z  \  y )  C_  NN )  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  C_  NN )
5958biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  z
)  C_  NN  /\  (
z  \  y )  C_  NN )  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) 
C_  NN )
6056, 57, 59syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) 
C_  NN )
612, 55, 60syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  C_  NN )
62 eqss 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  <->  ( y  C_  z  /\  z  C_  y ) )
63 ssdif0 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  <->  ( y  \  z )  =  (/) )
64 ssdif0 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  \  y )  =  (/) )
6563, 64anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  z  /\  z  C_  y )  <->  ( (
y  \  z )  =  (/)  /\  ( z 
\  y )  =  (/) ) )
66 un00 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  z
)  =  (/)  /\  (
z  \  y )  =  (/) )  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =  (/) )
6762, 65, 663bitri 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =  (/) )
6867necon3bii 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =/=  z  <->  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) )  =/=  (/) )
6968biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) )  =/=  (/) )
70 nnwo 10300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
)  C_  NN  /\  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) )  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
)
7161, 69, 70syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  y  =/=  z )  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
)
7271ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n
) )
7361sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) )  ->  m  e.  NN )
74 df-ral 2561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) m  <_  n 
<-> 
A. n ( n  e.  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  ->  m  <_  n ) )
75 con34b 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  ->  m  <_  n )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  -.  n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) ) )
76 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( y  \ 
z )  <->  ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z ) )
77 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( z  \ 
y )  <->  ( n  e.  z  /\  -.  n  e.  y ) )
7876, 77orbi12i 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( y 
\  z )  \/  n  e.  ( z 
\  y ) )  <-> 
( ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z )  \/  (
n  e.  z  /\  -.  n  e.  y
) ) )
79 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( y 
\  z )  u.  ( z  \  y
) )  <->  ( n  e.  ( y  \  z
)  \/  n  e.  ( z  \  y
) ) )
80 xor 861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( n  e.  y  <-> 
n  e.  z )  <-> 
( ( n  e.  y  /\  -.  n  e.  z )  \/  (
n  e.  z  /\  -.  n  e.  y
) ) )
8178, 79, 803bitr4ri 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( n  e.  y  <-> 
n  e.  z )  <-> 
n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) ) )
8281con1bii 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  <->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )
8382imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  m  <_  n  ->  -.  n  e.  ( ( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
8475, 83bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) )  ->  m  <_  n )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  (
n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
8584albii 1556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n ( n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
)  ->  m  <_  n )  <->  A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
8674, 85bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( (
y  \  z )  u.  ( z  \  y
) ) m  <_  n 
<-> 
A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )
87 alral 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  ->  A. n  e.  NN  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
88 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
89 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
90 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( n  <  m  <->  -.  m  <_  n )
)
9188, 89, 90syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  <  m  <->  -.  m  <_  n )
)
9291imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  <->  ( -.  m  <_  n  ->  (
n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9392ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  <->  A. n  e.  NN  ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
9487, 93syl5ibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n ( -.  m  <_  n  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
9586, 94syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) m  <_  n  ->  A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9673, 95syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  /\  m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) )  ->  ( A. n  e.  (
( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) m  <_  n  ->  A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) ) )
9796reximdva 2668 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) m  <_  n  ->  E. m  e.  ( ( y  \  z
)  u.  ( z 
\  y ) ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) )
9872, 97syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  E. m  e.  ( ( y  \ 
z )  u.  (
z  \  y )
) A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )
99 rexun 3368 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ( ( y  \  z )  u.  ( z  \ 
y ) ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( y  \  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) )
10098, 99syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  ( E. m  e.  ( y  \  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) ) ) )
101 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  y  C_  NN )
102 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  z  C_  NN )
103 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  m  e.  ( y  \  z ) )
104 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )
105 biid 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 z ) `  k ) )
1066, 101, 102, 103, 104, 105rpnnen2lem11 12519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( y  \  z )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
107106expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  m  e.  (
y  \  z )
)  ->  ( A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 z ) `  k ) ) )
108107rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  ( E. m  e.  (
y  \  z ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
109 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  z  C_  NN )
110 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  y  C_  NN )
111 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  m  e.  ( z  \  y ) )
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )
113 bicom 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  z  <->  n  e.  y )  <->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )
114113imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  <  m  -> 
( n  e.  z  <-> 
n  e.  y ) )  <->  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
115114ralbii 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  z  <->  n  e.  y ) )  <->  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) )
116112, 115sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  z  <-> 
n  e.  y ) ) )
117 eqcom 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  <->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k ) )
1186, 109, 110, 111, 116, 117rpnnen2lem11 12519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  ( m  e.  ( z  \  y )  /\  A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
119118expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  /\  m  e.  (
z  \  y )
)  ->  ( A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  y ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 z ) `  k ) ) )
120119rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  ( E. m  e.  (
z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
121108, 120jaod 369 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  NN  /\  z  C_  NN )  ->  (
( E. m  e.  ( y  \  z
) A. n  e.  NN  ( n  < 
m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z
) )  \/  E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
1222, 55, 121syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( ( E. m  e.  ( y 
\  z ) A. n  e.  NN  (
n  <  m  ->  ( n  e.  y  <->  n  e.  z ) )  \/ 
E. m  e.  ( z  \  y ) A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  y  <-> 
n  e.  z ) ) )  ->  -.  sum_ k  e.  NN  (
( F `  y
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  z ) `  k
) ) )
123100, 122syld 40 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( y  =/=  z  ->  -.  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
) )
124123necon4ad 2520 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )  ->  y  =  z ) )
125 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
126125fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
) `  k )  =  ( ( F `
 z ) `  k ) )
127126sumeq2sdv 12193 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )
)
128124, 127impbid1 194 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~P NN  /\  z  e.  ~P NN )  ->  ( sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 y ) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  (
( F `  z
) `  k )  <->  y  =  z ) )
12954, 128dom2 6920 . 2  |-  ( ( 0 [,] 1 )  e.  _V  ->  ~P NN 
~<_  ( 0 [,] 1
) )
1301, 129ax-mp 8 1  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~<_ cdom 6877   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   [,]cicc 10675    seq cseq 11062   ^cexp 11120    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  rpnnen  12521  opnreen  18352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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