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Theorem rpnnen2lem10 12750
Description: Lemma for rpnnen2 12752. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 rpnnen2.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k ) )
4 rpnnen2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
6 eldifi 3412 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
7 ssel2 3286 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
86, 7sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
94, 5, 8syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
1110rpnnen2lem8 12748 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 A ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
124, 9, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  A
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
13 1z 10243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
14 nnz 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
15 elfzm11 11046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) ) )
1613, 14, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) ) )
1716biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) )
189, 17sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) )
1918simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  k  <  m )
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
21 elfznn 11012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
22 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <  m  <->  k  <  m ) )
23 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  A  <->  k  e.  A ) )
24 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  B  <->  k  e.  B ) )
2523, 24bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  A  <->  n  e.  B )  <->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2622, 25imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  <  m  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  <-> 
( k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) ) )
2726rspccva 2994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  < 
m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2820, 21, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) )
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
3029ifbid 3700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3110rpnnen2lem1 12741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
324, 21, 31syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
3410rpnnen2lem1 12741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3533, 21, 34syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  ( ( F `
 B ) `  k ) )
3736sumeq2dv 12424 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k ) )
3837oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
3912, 38eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4039adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4110rpnnen2lem8 12748 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4233, 9, 41syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
4342adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
443, 40, 433eqtr3d 2427 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4510rpnnen2lem6 12746 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
464, 9, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
4710rpnnen2lem6 12746 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
4833, 9, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
49 fzfid 11239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
m  -  1 ) )  e.  Fin )
5010rpnnen2lem2 12742 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
5133, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
) : NN --> RR )
52 ffvelrn 5807 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
5351, 21, 52syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  e.  RR )
5449, 53fsumrecl 12455 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
55 readdcan 9172 . . . 4  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
5646, 48, 54, 55syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5756adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5844, 57mpbid 202 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    \ cdif 3260    C_ wss 3263   ifcif 3682   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   3c3 9982   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   ^cexp 11309   sum_csu 12406
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-ico 10854  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407
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