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Theorem rpnnen2lem10 12815
Description: Lemma for rpnnen2 12817. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 rpnnen2.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k ) )
4 rpnnen2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
6 eldifi 3461 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
7 ssel2 3335 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
86, 7sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
94, 5, 8syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
1110rpnnen2lem8 12813 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 A ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
124, 9, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  A
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
13 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
14 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
15 elfzm11 11108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) ) )
1613, 14, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) ) )
1716biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k  /\  k  <  m ) )
189, 17sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  <_  k  /\  k  <  m ) )
1918simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  k  <  m )
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
21 elfznn 11072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
22 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <  m  <->  k  <  m ) )
23 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  A  <->  k  e.  A ) )
24 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  B  <->  k  e.  B ) )
2523, 24bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  A  <->  n  e.  B )  <->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2622, 25imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  <  m  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  <-> 
( k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) ) )
2726rspccva 3043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  < 
m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B
) ) )
2820, 21, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  B ) ) )
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
3029ifbid 3749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3110rpnnen2lem1 12806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
324, 21, 31syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
3410rpnnen2lem1 12806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3533, 21, 34syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  ( ( F `
 B ) `  k ) )
3736sumeq2dv 12489 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k ) )
3837oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  A ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) ) )
3912, 38eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4039adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  A ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
) )
4110rpnnen2lem8 12813 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( F `
 B ) `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4233, 9, 41syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
4342adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
443, 40, 433eqtr3d 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
4510rpnnen2lem6 12811 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
464, 9, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
4710rpnnen2lem6 12811 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
4833, 9, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
49 fzfid 11304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
m  -  1 ) )  e.  Fin )
5010rpnnen2lem2 12807 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  NN  ->  ( F `
 B ) : NN --> RR )
5133, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
) : NN --> RR )
52 ffvelrn 5860 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  B
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
5351, 21, 52syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) )  ->  (
( F `  B
) `  k )  e.  RR )
5449, 53fsumrecl 12520 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
55 readdcan 9232 . . . 4  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( ( F `  B ) `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
5646, 48, 54, 55syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5756adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( ( F `
 B ) `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  B ) `
 k ) )  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( F `  A ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
) )
5844, 57mpbid 202 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   3c3 10042   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472
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