MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem11 12824
Description: Lemma for rpnnen2 12825. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
rpnnen2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
rpnnen2.3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
rpnnen2.4  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
rpnnen2.5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
rpnnen2.6  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Distinct variable groups:    m, n, x, k    A, k, n, x    B, k, n, x   
k, m, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, n)    ps( x, k, m, n)    A( m)    B( m)    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  NN )
2 rpnnen2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
3 rpnnen2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  ( A 
\  B ) )
4 eldifi 3469 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( A  \  B )  ->  m  e.  A )
5 ssel2 3343 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  NN )
64, 5sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  ( A  \  B
) )  ->  m  e.  NN )
72, 3, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  m  e.  NN )
8 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
98rpnnen2lem6 12819 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  e.  RR )
101, 7, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  e.  RR )
11 3nn 10134 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
12 nnrecre 10036 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
147nnnn0d 10274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  m  e.  NN0 )
15 reexpcl 11398 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
1613, 14, 15sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
178rpnnen2lem6 12819 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
182, 7, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  e.  RR )
19 nnrp 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
20 rpreccl 10635 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( 1  /  3 )  e.  RR+ )
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR+
227nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ZZ )
23 rpexpcl 11400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR+  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+ )
2421, 22, 23sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR+ )
2524rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  RR )
2625rehalfcld 10214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  RR )
273snssd 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( A  \  B ) )
282ssdifd 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  \  B
)  C_  ( NN  \  B ) )
2927, 28sstrd 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( NN  \  B ) )
307snssd 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { m }  C_  NN )
31 ssconb 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  NN  /\  {
m }  C_  NN )  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m } )  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
321, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  C_  ( NN  \  { m }
)  <->  { m }  C_  ( NN  \  B ) ) )
3329, 32mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( NN  \  { m } ) )
34 difssd 3475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( NN  \  {
m } )  C_  NN )
358rpnnen2lem7 12820 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( NN  \  { m } )  /\  ( NN  \  { m } ) 
C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
) )
378rpnnen2lem9 12822 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  ( NN  \  { m } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
387, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) ) ) )
3913recni 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
40 expp1 11388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4139, 14, 40sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4225recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )
43 3cn 10072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
44 3ne0 10085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
45 divrec 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4643, 44, 45mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  x.  ( 1  /  3
) ) )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  x.  ( 1  / 
3 ) ) )
4841, 47eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  3 ) )
4948oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
50 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5143, 44pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
52 divsubdir 9710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
5343, 50, 51, 52mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
54 3m1e2 10096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5554oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
5643, 44dividi 9747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
5756oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
5853, 55, 573eqtr3ri 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
5958oveq2i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  3 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
60 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
61 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
6260, 61pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
63 divcan7 9723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6462, 51, 63mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC  ->  (
( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  3
)  /  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) )
6542, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6659, 65syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
3 )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6749, 66eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
6867oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3 ) ^ m )  / 
2 ) ) )
6926recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  e.  CC )
7069addid2d 9267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
7138, 68, 703eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  ( NN  \  { m }
) ) `  k
)  =  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 ) )
7236, 71breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <_  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
) )
73 rphalflt 10638 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  RR+  ->  ( ( ( 1  /  3
) ^ m )  /  2 )  < 
( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
7424, 73syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 ) ^
m )  /  2
)  <  ( (
1  /  3 ) ^ m ) )
7510, 26, 25, 72, 74lelttrd 9228 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
76 nnuz 10521 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7776uztrn2 10503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
787, 77sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  k  e.  NN )
798rpnnen2lem1 12814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { m }  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 { m }
) `  k )  =  if ( k  e. 
{ m } , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
8030, 79sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
8178, 80syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( F `  { m } ) `  k
)  =  if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
8281sumeq2dv 12497 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
83 uzid 10500 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
8422, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m ) )
8584snssd 3943 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { m }  C_  ( ZZ>= `  m )
)
86 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
87 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
m ) )
8887eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  CC  <->  ( (
1  /  3 ) ^ m )  e.  CC ) )
8986, 88ralsn 3849 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  CC  <->  ( ( 1  /  3
) ^ m )  e.  CC )
9042, 89sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )
91 ssid 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>=
`  m )
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )
)
9392orcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  m
)  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>=
`  m )  e. 
Fin ) )
94 sumss2 12520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { m }  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  e.  CC )  /\  (
( ZZ>= `  m )  C_  ( ZZ>= `  m )  \/  ( ZZ>= `  m )  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  { m }  ( ( 1  /  3 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m ) if ( k  e.  { m } ,  ( (
1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
9585, 90, 93, 94syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) if ( k  e.  {
m } ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
9687sumsn 12534 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
977, 42, 96syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
m }  ( ( 1  /  3 ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
) )
9882, 95, 973eqtr2d 2474 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ m ) )
993, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  m  e.  A )
10099snssd 3943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { m }  C_  A )
1018rpnnen2lem7 12820 . . . . . 6  |-  ( ( { m }  C_  A  /\  A  C_  NN  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
102100, 2, 7, 101syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  {
m } ) `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10398, 102eqbrtrrd 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 ) ^ m
)  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
) )
10410, 16, 18, 75, 103ltletrd 9230 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  <  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )
)
10510, 104gtned 9208 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
106 rpnnen2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  <  m  -> 
( n  e.  A  <->  n  e.  B ) ) )
107 rpnnen2.6 . . . . 5  |-  ( ps  <->  sum_ k  e.  NN  (
( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  NN  ( ( F `  B ) `  k
) )
1088, 2, 1, 3, 106, 107rpnnen2lem10 12823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )
)
109108ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  A ) `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( F `  B ) `  k
) ) )
110109necon3ad 2637 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  A
) `  k )  =/=  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( ( F `  B
) `  k )  ->  -.  ps ) )
111105, 110mpd 15 1  |-  ( ph  ->  -.  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ^cexp 11382   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  rpnnen2  12825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator