MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Unicode version

Theorem rpnnen2lem2 12510
Description: Lemma for rpnnen2 12520. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 9894 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 9797 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
5 nnnn0 9988 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6 reexpcl 11136 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR )
74, 5, 6sylancr 644 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  e.  RR )
8 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3614 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 ) ^ n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ n ) ,  0 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 643 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
1110adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  e.  RR )
12 eqid 2296 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1311, 12fmptd 5700 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) ) : NN --> RR )
14 nnex 9768 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1514elpw2 4191 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
16 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
1716ifbid 3596 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
1817mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
19 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2014mptex 5762 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2215, 21sylbir 204 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
2322feq1d 5395 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) : NN --> RR ) )
2413, 23mpbird 223 1  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    / cdiv 9439   NNcn 9762   3c3 9812   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12513  rpnnen2lem6  12514  rpnnen2lem7  12515  rpnnen2lem8  12516  rpnnen2lem9  12517  rpnnen2lem10  12518  rpnnen2  12520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator