MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 12821
Description: Lemma for rpnnen2 12830. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9095 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10139 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 10040 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 9107 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 9096 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 10076 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 10089 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 9921 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 9201 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 12106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 10149 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 9911 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 201 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4234 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 10242 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3369 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 10526 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2529 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 12819 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 646 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
29 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
3025, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3128, 30eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
326, 19, 21, 31geolim2 12653 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3332trud 1333 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
34 exp1 11392 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
355, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
36 3cn 10077 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
37 ax-1cn 9053 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
38 3ne0 10090 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3936, 38pm3.2i 443 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
40 divsubdir 9715 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4136, 37, 39, 40mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
42 3m1e2 10101 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4342oveq1i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4436, 38dividi 9752 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
4544oveq1i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
4641, 43, 453eqtr3ri 2467 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
4735, 46oveq12i 6096 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
48 2cn 10075 . . . . 5  |-  2  e.  CC
49 2ne0 10088 . . . . 5  |-  2  =/=  0
5048, 49pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
51 divcan7 9728 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5237, 50, 39, 51mp3an 1280 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5347, 52eqtri 2458 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5433, 53breqtri 4238 1  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493    seq cseq 11328   ^cexp 11387   abscabs 12044    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12823  rpnnen2  12830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator