MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 12775
Description: Lemma for rpnnen2 12784. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9050 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10094 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 9995 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 9062 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 9051 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 10031 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 10044 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 9876 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 9156 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 12060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 10104 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 9866 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 200 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4195 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 10197 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3331 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 10481 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2499 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 12773 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
29 iftrue 3709 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
3025, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3128, 30eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
326, 19, 21, 31geolim2 12607 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3332trud 1329 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
34 exp1 11346 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
355, 34ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
36 3cn 10032 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
37 ax-1cn 9008 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
38 3ne0 10045 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3936, 38pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
40 divsubdir 9670 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4136, 37, 39, 40mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
42 3m1e2 10056 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4342oveq1i 6054 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4436, 38dividi 9707 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
4544oveq1i 6054 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
4641, 43, 453eqtr3ri 2437 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
4735, 46oveq12i 6056 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
48 2cn 10030 . . . . 5  |-  2  e.  CC
49 2ne0 10043 . . . . 5  |-  2  =/=  0
5048, 49pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
51 divcan7 9683 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5237, 50, 39, 51mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5347, 52eqtri 2428 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5433, 53breqtri 4199 1  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    C_ wss 3284   ifcif 3703   ~Pcpw 3763   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   3c3 10010   NN0cn0 10181   ZZ>=cuz 10448    seq cseq 11282   ^cexp 11341   abscabs 11998    ~~> cli 12237
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12777  rpnnen2  12784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439
  Copyright terms: Public domain W3C validator