MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 12495
Description: Lemma for rpnnen2 12504. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 9878 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 8849 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 9817 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 9830 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 9662 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 8941 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 11781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 9888 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4042 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 9981 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3197 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 10263 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 12493 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
29 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
3025, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3128, 30eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
326, 19, 21, 31geolim2 12327 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3332trud 1314 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
34 exp1 11109 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
355, 34ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
36 3cn 9818 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
37 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
38 3ne0 9831 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3936, 38pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
40 divsubdir 9456 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4136, 37, 39, 40mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
42 df-3 9805 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4342oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
44 2cn 9816 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
45 pncan 9057 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
4644, 37, 45mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
4743, 46eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4847oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4936, 38dividi 9493 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
5049oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
5141, 48, 503eqtr3ri 2312 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
5235, 51oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
53 2ne0 9829 . . . . 5  |-  2  =/=  0
5444, 53pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
55 divcan7 9469 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5637, 54, 39, 55mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5752, 56eqtri 2303 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5833, 57breqtri 4046 1  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12497  rpnnen2  12504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator