MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Unicode version

Theorem rpnnen2lem3 12703
Description: Lemma for rpnnen2 12712. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8984 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 3nn 10027 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
3 nndivre 9928 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
54recni 8996 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
7 0re 8985 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
8 3re 9964 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
9 3pos 9977 . . . . . . . . 9  |-  0  <  3
108, 9recgt0ii 9809 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  3
)
117, 4, 10ltleii 9088 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
12 absid 11988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
134, 11, 12mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
14 1lt3 10037 . . . . . . 7  |-  1  <  3
15 recgt1 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
168, 9, 15mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
1714, 16mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  <  1
1813, 17eqbrtri 4144 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
1918a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( abs `  (
1  /  3 ) )  <  1 )
20 1nn0 10130 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2120a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
22 ssid 3283 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 nnuz 10414 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleqr 2457 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2726rpnnen2lem1 12701 . . . . . 6  |-  ( ( NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2822, 25, 27sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
29 iftrue 3660 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  NN ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) )
3025, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  e.  NN , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  =  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )
3128, 30eqtrd 2398 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
326, 19, 21, 31geolim2 12535 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
3332trud 1328 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  / 
( 1  -  (
1  /  3 ) ) )
34 exp1 11274 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  3
) ^ 1 )  =  ( 1  / 
3 ) )
355, 34ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ 1 )  =  ( 1  /  3
)
36 3cn 9965 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
37 ax-1cn 8942 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
38 3ne0 9978 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3936, 38pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
40 divsubdir 9603 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
4136, 37, 39, 40mp3an 1278 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
42 df-3 9952 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4342oveq1i 5991 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
44 2cn 9963 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
45 pncan 9204 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
4644, 37, 45mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
4743, 46eqtri 2386 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4847oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
4936, 38dividi 9640 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
5049oveq1i 5991 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
5141, 48, 503eqtr3ri 2395 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
5235, 51oveq12i 5993 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )
53 2ne0 9976 . . . . 5  |-  2  =/=  0
5444, 53pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
55 divcan7 9616 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
5637, 54, 39, 55mp3an 1278 . . 3  |-  ( ( 1  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
)
5752, 56eqtri 2386 . 2  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 1  /  2
)
5833, 57breqtri 4148 1  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1321    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    C_ wss 3238   ifcif 3654   ~Pcpw 3714   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   3c3 9943   NN0cn0 10114   ZZ>=cuz 10381    seq cseq 11210   ^cexp 11269   abscabs 11926    ~~> cli 12165
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12705  rpnnen2  12712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367
  Copyright terms: Public domain W3C validator