MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem4 12818
Description: Lemma for rpnnen2 12826. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10229 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 0re 9092 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9091 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 3nn 10135 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
5 nndivre 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
7 3re 10072 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
8 3pos 10085 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
97, 8recgt0ii 9917 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  3
)
102, 6, 9ltleii 9197 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
11 expge0 11417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  /  3
) )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
126, 11mp3an1 1267 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k ) )
131, 10, 12sylancl 645 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
14133ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
15 0le0 10082 . . . 4  |-  0  <_  0
16 breq2 4217 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  3
) ^ k )  <->  0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) ) )
17 breq2 4217 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) ) )
1816, 17ifboth 3771 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
1914, 15, 18sylancl 645 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
20 sstr 3357 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
21 rpnnen2.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2lem1 12815 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2320, 22sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
24233impa 1149 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2519, 24breqtrrd 4239 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  A ) `  k
) )
26 reexpcl 11399 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
276, 1, 26sylancr 646 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
28273ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
292a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
30 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  B )
3130sseld 3348 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  e.  A  -> 
k  e.  B ) )
32 ifle 10784 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )  /\  ( k  e.  A  ->  k  e.  B ) )  ->  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  <_  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
3328, 29, 14, 31, 32syl31anc 1188 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  <_  if (
k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3421rpnnen2lem1 12815 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
35343adant1 976 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3633, 24, 353brtr4d 4243 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
3725, 36jca 520 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   ifcif 3740   ~Pcpw 3800   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    <_ cle 9122    / cdiv 9678   NNcn 10001   3c3 10051   NN0cn0 10222   ^cexp 11383
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12819  rpnnen2lem7  12821  rpnnen2  12826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-seq 11325  df-exp 11384
  Copyright terms: Public domain W3C validator