MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Unicode version

Theorem rpnnen2lem4 12512
Description: Lemma for rpnnen2 12520. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k, A    B, k, n, x    k, F
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9988 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 3nn 9894 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
5 nndivre 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
63, 4, 5mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
7 3re 9833 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
8 3pos 9846 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
97, 8recgt0ii 9678 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  3
)
102, 6, 9ltleii 8957 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
11 expge0 11154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  /  3
) )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
126, 11mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k ) )
131, 10, 12sylancl 643 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
14133ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
15 0le0 9843 . . . 4  |-  0  <_  0
16 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  3
) ^ k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  3
) ^ k )  <->  0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) ) )
17 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) ) )
1816, 17ifboth 3609 . . . 4  |-  ( ( 0  <_  ( (
1  /  3 ) ^ k )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
1914, 15, 18sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
20 sstr 3200 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  ->  A  C_  NN )
21 rpnnen2.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2lem1 12509 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2320, 22sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 ) )
24233impa 1146 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
2519, 24breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  A ) `  k
) )
26 reexpcl 11136 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
)  e.  RR )
276, 1, 26sylancr 644 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
28273ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  3
) ^ k )  e.  RR )
292a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
30 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  B )
3130sseld 3192 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  e.  A  -> 
k  e.  B ) )
32 ifle 10540 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 1  /  3 ) ^
k )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) )  /\  ( k  e.  A  ->  k  e.  B ) )  ->  if (
k  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 )  <_  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
3328, 29, 14, 31, 32syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
k ) ,  0 )  <_  if (
k  e.  B , 
( ( 1  / 
3 ) ^ k
) ,  0 ) )
3421rpnnen2lem1 12509 . . . 4  |-  ( ( B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
35343adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  B
) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
3633, 24, 353brtr4d 4069 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) )
3725, 36jca 518 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  B ) `  k
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   3c3 9812   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  12513  rpnnen2lem7  12515  rpnnen2  12520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator