MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Unicode version

Theorem rpnnen2lem5 12497
Description: Lemma for rpnnen2 12504. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, M, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
32a1i 10 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  1  e.  NN )
4 ssid 3197 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
65rpnnen2lem2 12494 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  NN  ->  ( F `  NN ) : NN --> RR )
74, 6mp1i 11 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 NN ) : NN --> RR )
8 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  NN ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
97, 8sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
105rpnnen2lem2 12494 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  A ) `  k
)  e.  RR )
1210, 11sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  e.  RR )
135rpnnen2lem3 12495 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
14 seqex 11048 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  _V
15 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
1614, 15breldm 4883 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  /  2 )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
1713, 16mp1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
18 elnnuz 10264 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
195rpnnen2lem4 12496 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
204, 19mp3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2118, 20sylan2br 462 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2221simpld 445 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( F `  A
) `  k )
)
2321simprd 449 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  A ) `  k )  <_  (
( F `  NN ) `  k )
)
241, 3, 9, 12, 17, 22, 23cvgcmp 12274 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
2524adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
26 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
2712adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
2827recnd 8861 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  CC )
291, 26, 28iserex 12130 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  ) )
3025, 29mpbid 201 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  12498  rpnnen2lem7  12499  rpnnen2lem8  12500  rpnnen2lem9  12501  rpnnen2  12504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator