MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem5 12823
Description: Lemma for rpnnen2 12830. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, M, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10526 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn 10016 . . . . 5  |-  1  e.  NN
32a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  1  e.  NN )
4 ssid 3369 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
65rpnnen2lem2 12820 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  NN  ->  ( F `  NN ) : NN --> RR )
74, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 NN ) : NN --> RR )
87ffvelrnda 5873 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
95rpnnen2lem2 12820 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
109ffvelrnda 5873 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  e.  RR )
115rpnnen2lem3 12821 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
12 seqex 11330 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  _V
13 ovex 6109 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
1412, 13breldm 5077 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  /  2 )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
1511, 14mp1i 12 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
16 elnnuz 10527 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
175rpnnen2lem4 12822 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
184, 17mp3an2 1268 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
1916, 18sylan2br 464 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2019simpld 447 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( F `  A
) `  k )
)
2119simprd 451 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  A ) `  k )  <_  (
( F `  NN ) `  k )
)
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 12600 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
2322adantr 453 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
24 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
2510adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
2625recnd 9119 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  CC )
271, 24, 26iserex 12455 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  ) )
2823, 27mpbid 203 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   ZZ>=cuz 10493    seq cseq 11328   ^cexp 11387    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  12824  rpnnen2lem7  12825  rpnnen2lem8  12826  rpnnen2lem9  12827  rpnnen2  12830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator