MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Unicode version

Theorem rpnnen2lem5 12781
Description: Lemma for rpnnen2 12788. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, M, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10485 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn 9975 . . . . 5  |-  1  e.  NN
32a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  1  e.  NN )
4 ssid 3335 . . . . . 6  |-  NN  C_  NN
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
65rpnnen2lem2 12778 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  NN  ->  ( F `  NN ) : NN --> RR )
74, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 NN ) : NN --> RR )
87ffvelrnda 5837 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  NN ) `  k )  e.  RR )
95rpnnen2lem2 12778 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A ) : NN --> RR )
109ffvelrnda 5837 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  k )  e.  RR )
115rpnnen2lem3 12779 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  / 
2 )
12 seqex 11288 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  _V
13 ovex 6073 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
1412, 13breldm 5041 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  ~~>  ( 1  /  2 )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
1511, 14mp1i 12 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  NN ) )  e.  dom  ~~>  )
16 elnnuz 10486 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
175rpnnen2lem4 12780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  NN  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
184, 17mp3an2 1267 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
1916, 18sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 A ) `  k )  /\  (
( F `  A
) `  k )  <_  ( ( F `  NN ) `  k ) ) )
2019simpld 446 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( F `  A
) `  k )
)
2119simprd 450 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( ( F `  A ) `  k )  <_  (
( F `  NN ) `  k )
)
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 12558 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  seq  1
(  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
2322adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  )
24 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
2510adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  RR )
2625recnd 9078 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 A ) `  k )  e.  CC )
271, 24, 26iserex 12413 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( F `  A
) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  ) )
2823, 27mpbid 202 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  A ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   ifcif 3707   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    <_ cle 9085    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   ZZ>=cuz 10452    seq cseq 11286   ^cexp 11345    ~~> cli 12241
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  12782  rpnnen2lem7  12783  rpnnen2lem8  12784  rpnnen2lem9  12785  rpnnen2  12788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-ico 10886  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443
  Copyright terms: Public domain W3C validator