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Theorem rpnnen2lem9 12517
Description: Lemma for rpnnen2 12520. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nnz 10061 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
3 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
4 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10261 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
6 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( NN 
\  { M }
)  C_  NN
7 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
87rpnnen2lem2 12510 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  ->  ( F `  ( NN  \  { M }
) ) : NN --> RR )
96, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) : NN --> RR
109ffvelrni 5680 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  RR )
1110recnd 8877 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  CC )
125, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
137rpnnen2lem5 12513 . . . 4  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN  \  { M } ) ) )  e.  dom  ~~>  )
146, 13mpan 651 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
151, 2, 3, 12, 14isum1p 12316 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) ) )
167rpnnen2lem1 12509 . . . . 5  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 M )  =  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ M ) ,  0 ) )
176, 16mpan 651 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  if ( M  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 ) )
18 eldifn 3312 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( NN  \  { M } )  ->  -.  M  e.  { M } )
19 snidg 3678 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  { M } )
2018, 19nsyl3 111 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  e.  ( NN  \  { M } ) )
21 iffalse 3585 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ( NN 
\  { M }
)  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2220, 21syl 15 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2317, 22eqtrd 2328 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  0 )
24 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
25 peano2nn 9774 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2625nnzd 10132 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
27 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
284uztrn2 10261 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2925, 28sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
3029, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
31 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
32 3nn 9894 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
33 nndivre 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3431, 32, 33mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
3534recni 8865 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
3635a1i 10 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  CC )
37 0re 8854 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
38 3re 9833 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
39 3pos 9846 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
4038, 39recgt0ii 9678 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  3
)
4137, 34, 40ltleii 8957 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
42 absid 11797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
4334, 41, 42mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
44 1lt3 9904 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
45 recgt1 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
4638, 39, 45mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
4744, 46mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
4843, 47eqbrtri 4058 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
4948a1i 10 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
3 ) )  <  1 )
5025nnnn0d 10034 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
517rpnnen2lem1 12509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
526, 51mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
5329, 52syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
54 nnre 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  RR )
56 eluzle 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
5756adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  +  1 )  <_  k )
58 nnltp1le 10088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5929, 58syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
6057, 59mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  k )
6155, 60gtned 8970 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  =/=  M )
62 eldifsn 3762 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/= 
M ) )
6329, 61, 62sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  ( NN 
\  { M }
) )
64 iftrue 3584 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6563, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6653, 65eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
6736, 49, 50, 66geolim2 12343 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  ( M  +  1
) (  +  , 
( F `  ( NN  \  { M }
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
6824, 26, 27, 30, 67isumclim 12236 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )
6923, 68oveq12d 5892 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
7015, 69eqtrd 2328 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   3c3 9812   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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