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Theorem rpnnen2lem9 12501
Description: Lemma for rpnnen2 12504. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nnz 10045 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
3 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
4 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10245 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
6 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( NN 
\  { M }
)  C_  NN
7 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
87rpnnen2lem2 12494 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  ->  ( F `  ( NN  \  { M }
) ) : NN --> RR )
96, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) : NN --> RR
109ffvelrni 5664 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  RR )
1110recnd 8861 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  CC )
125, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
137rpnnen2lem5 12497 . . . 4  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN  \  { M } ) ) )  e.  dom  ~~>  )
146, 13mpan 651 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
151, 2, 3, 12, 14isum1p 12300 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) ) )
167rpnnen2lem1 12493 . . . . 5  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 M )  =  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ M ) ,  0 ) )
176, 16mpan 651 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  if ( M  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 ) )
18 eldifn 3299 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( NN  \  { M } )  ->  -.  M  e.  { M } )
19 snidg 3665 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  { M } )
2018, 19nsyl3 111 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  e.  ( NN  \  { M } ) )
21 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ( NN 
\  { M }
)  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2220, 21syl 15 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2317, 22eqtrd 2315 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  0 )
24 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
25 peano2nn 9758 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2625nnzd 10116 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
27 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
284uztrn2 10245 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2925, 28sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
3029, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
31 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
32 3nn 9878 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
33 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3431, 32, 33mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
3534recni 8849 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
3635a1i 10 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  CC )
37 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
38 3re 9817 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
39 3pos 9830 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
4038, 39recgt0ii 9662 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  3
)
4137, 34, 40ltleii 8941 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
42 absid 11781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
4334, 41, 42mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
44 1lt3 9888 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
45 recgt1 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
4638, 39, 45mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
4744, 46mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
4843, 47eqbrtri 4042 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
4948a1i 10 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
3 ) )  <  1 )
5025nnnn0d 10018 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
517rpnnen2lem1 12493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
526, 51mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
5329, 52syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
54 nnre 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  RR )
56 eluzle 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
5756adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  +  1 )  <_  k )
58 nnltp1le 10072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5929, 58syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
6057, 59mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  k )
6155, 60gtned 8954 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  =/=  M )
62 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/= 
M ) )
6329, 61, 62sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  ( NN 
\  { M }
) )
64 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6563, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6653, 65eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
6736, 49, 50, 66geolim2 12327 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  ( M  +  1
) (  +  , 
( F `  ( NN  \  { M }
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
6824, 26, 27, 30, 67isumclim 12220 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )
6923, 68oveq12d 5876 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
7015, 69eqtrd 2315 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   3c3 9796   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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