MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem9 12814
Description: Lemma for rpnnen2 12817. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, k    k, F    k, M, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nnz 10295 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
3 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
4 nnuz 10513 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10495 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
6 difss 3466 . . . . . . 7  |-  ( NN 
\  { M }
)  C_  NN
7 rpnnen2.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
87rpnnen2lem2 12807 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  ->  ( F `  ( NN  \  { M }
) ) : NN --> RR )
96, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) : NN --> RR
109ffvelrni 5861 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  RR )
1110recnd 9106 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  e.  CC )
125, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
137rpnnen2lem5 12810 . . . 4  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN  \  { M } ) ) )  e.  dom  ~~>  )
146, 13mpan 652 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  M (  +  ,  ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
151, 2, 3, 12, 14isum1p 12613 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) ) )
167rpnnen2lem1 12806 . . . . 5  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 M )  =  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ M ) ,  0 ) )
176, 16mpan 652 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  if ( M  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 ) )
18 neldifsnd 3922 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  e.  ( NN  \  { M } ) )
19 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ( NN 
\  { M }
)  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  if ( M  e.  ( NN  \  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ M ) ,  0 )  =  0 )
2117, 20eqtrd 2467 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  M
)  =  0 )
22 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
23 peano2nn 10004 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2423nnzd 10366 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
25 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
) )
264uztrn2 10495 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2723, 26sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2827, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  e.  CC )
29 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
30 3nn 10126 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
31 nndivre 10027 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3229, 30, 31mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
3332recni 9094 . . . . . 6  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  CC )
35 0re 9083 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
36 3re 10063 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
37 3pos 10076 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
3836, 37recgt0ii 9908 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  3
)
3935, 32, 38ltleii 9188 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  3
)
40 absid 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  3 ) )  =  ( 1  /  3 ) )
4132, 39, 40mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
42 1lt3 10136 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
43 recgt1 9898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
4436, 37, 43mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
4542, 44mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
4641, 45eqbrtri 4223 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 1  /  3
) )  <  1
4746a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
3 ) )  <  1 )
4823nnnn0d 10266 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
497rpnnen2lem1 12806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  \  { M } )  C_  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( NN  \  { M } ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
506, 49mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  ( NN  \  { M }
) ) `  k
)  =  if ( k  e.  ( NN 
\  { M }
) ,  ( ( 1  /  3 ) ^ k ) ,  0 ) )
5127, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 ) )
52 nnre 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5352adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  e.  RR )
54 eluzle 10490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
5554adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  +  1 )  <_  k )
56 nnltp1le 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5727, 56syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( M  <  k  <->  ( M  +  1 )  <_  k ) )
5855, 57mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  k )
5953, 58gtned 9200 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  =/=  M )
60 eldifsn 3919 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/= 
M ) )
6127, 59, 60sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  ( NN 
\  { M }
) )
62 iftrue 3737 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \  { M } )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6361, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  if ( k  e.  ( NN  \  { M } ) ,  ( ( 1  /  3
) ^ k ) ,  0 )  =  ( ( 1  / 
3 ) ^ k
) )
6451, 63eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  3
) ^ k ) )
6534, 47, 48, 64geolim2 12640 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  seq  ( M  +  1
) (  +  , 
( F `  ( NN  \  { M }
) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) )
6622, 24, 25, 28, 65isumclim 12533 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( ( ( 1  / 
3 ) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )
6721, 66oveq12d 6091 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  M )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ( ( F `  ( NN 
\  { M }
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
6815, 67eqtrd 2467 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( ( F `  ( NN  \  { M } ) ) `  k )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
) ^ ( M  +  1 ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  3
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   3c3 10042   ZZ>=cuz 10480    seq cseq 11315   ^cexp 11374   abscabs 12031    ~~> cli 12270   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  12816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator