Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpnnen3 Unicode version

Theorem rpnnen3 27125
Description: Dedekind cut injection of  RR into  ~P QQ. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen3  |-  RR  ~<_  ~P QQ

Proof of Theorem rpnnen3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 10328 . . 3  |-  QQ  e.  _V
21pwex 4193 . 2  |-  ~P QQ  e.  _V
3 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  C_  QQ
41elpw2 4175 . . . . 5  |-  ( { c  e.  QQ  | 
c  <  a }  e.  ~P QQ  <->  { c  e.  QQ  |  c  < 
a }  C_  QQ )
53, 4mpbir 200 . . . 4  |-  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  e.  ~P QQ
65a1i 10 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  e.  ~P QQ )
7 lttri2 8904 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  =/=  b  <->  ( a  <  b  \/  b  <  a ) ) )
8 rpnnen3lem 27124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  a  <  b
)  ->  { c  e.  QQ  |  c  < 
a }  =/=  {
c  e.  QQ  | 
c  <  b }
)
9 rpnnen3lem 27124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  /\  b  <  a
)  ->  { c  e.  QQ  |  c  < 
b }  =/=  {
c  e.  QQ  | 
c  <  a }
)
109ancom1s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  b  <  a
)  ->  { c  e.  QQ  |  c  < 
b }  =/=  {
c  e.  QQ  | 
c  <  a }
)
1110necomd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  b  <  a
)  ->  { c  e.  QQ  |  c  < 
a }  =/=  {
c  e.  QQ  | 
c  <  b }
)
128, 11jaodan 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( a  < 
b  \/  b  < 
a ) )  ->  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  =/=  { c  e.  QQ  |  c  < 
b } )
1312ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  < 
b  \/  b  < 
a )  ->  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  =/=  { c  e.  QQ  | 
c  <  b }
) )
147, 13sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  =/=  b  ->  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  =/=  { c  e.  QQ  |  c  < 
b } ) )
1514necon4d 2509 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( { c  e.  QQ  |  c  < 
a }  =  {
c  e.  QQ  | 
c  <  b }  ->  a  =  b ) )
16 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
c  <  a  <->  c  <  b ) )
1716rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  { c  e.  QQ  |  c  <  a }  =  { c  e.  QQ  |  c  <  b } )
1815, 17impbid1 194 . . 3  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( { c  e.  QQ  |  c  < 
a }  =  {
c  e.  QQ  | 
c  <  b }  <->  a  =  b ) )
196, 18dom2 6904 . 2  |-  ( ~P QQ  e.  _V  ->  RR  ~<_  ~P QQ )
202, 19ax-mp 8 1  |-  RR  ~<_  ~P QQ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    ~<_ cdom 6861   RRcr 8736    < clt 8867   QQcq 10316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317
  Copyright terms: Public domain W3C validator