MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Unicode version

Theorem rpreccld 10416
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 10393 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   1c1 8754    / cdiv 9439   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  rprecred  10417  resqrex  11752  rlimno1  12143  supcvg  12330  harmonic  12333  expcnv  12338  eirrlem  12498  prmreclem5  12983  prmreclem6  12984  met1stc  18083  met2ndci  18084  nmoi2  18255  bcthlem5  18766  ovolsca  18890  vitali  18984  ismbf3d  19025  itg2seq  19113  itg2mulclem  19117  itg2mulc  19118  aalioulem3  19730  aaliou3lem8  19741  dvradcnv  19813  tanregt0  19917  divlogrlim  19998  advlogexp  20018  logtayllem  20022  divcxp  20050  cxpcn3lem  20103  loglesqr  20114  ang180lem2  20124  asinlem3  20183  leibpi  20254  rlimcnp2  20277  efrlim  20280  cxplim  20282  cxp2lim  20287  divsqrsumlem  20290  amgmlem  20300  emcllem2  20306  emcllem4  20308  emcllem5  20309  emcllem6  20310  fsumharmonic  20321  basellem3  20336  basellem6  20339  logfaclbnd  20477  bclbnd  20535  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisum0lem2a  20682  log2sumbnd  20709  logdivbnd  20721  pntlemo  20772  smcnlem  21286  minvecolem3  21471  minvecolem4  21475  logbrec  23422  esumdivc  23466  dya2ub  23590  heiborlem3  26640  heiborlem6  26643  heiborlem8  26645  heibor  26648  irrapxlem4  27013  irrapxlem5  27014  wallispi  27922  stirlinglem1  27926  stirlinglem6  27931  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator