MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Unicode version

Theorem rpreccld 10400
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 10377 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    / cdiv 9423   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  rprecred  10401  resqrex  11736  rlimno1  12127  supcvg  12314  harmonic  12317  expcnv  12322  eirrlem  12482  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  met1stc  18067  met2ndci  18068  nmoi2  18239  bcthlem5  18750  ovolsca  18874  vitali  18968  ismbf3d  19009  itg2seq  19097  itg2mulclem  19101  itg2mulc  19102  aalioulem3  19714  aaliou3lem8  19725  dvradcnv  19797  tanregt0  19901  divlogrlim  19982  advlogexp  20002  logtayllem  20006  divcxp  20034  cxpcn3lem  20087  loglesqr  20098  ang180lem2  20108  asinlem3  20167  leibpi  20238  rlimcnp2  20261  efrlim  20264  cxplim  20266  cxp2lim  20271  divsqrsumlem  20274  amgmlem  20284  emcllem2  20290  emcllem4  20292  emcllem5  20293  emcllem6  20294  fsumharmonic  20305  basellem3  20320  basellem6  20323  logfaclbnd  20461  bclbnd  20519  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisum0lem2a  20666  log2sumbnd  20693  logdivbnd  20705  pntlemo  20756  smcnlem  21270  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  logbrec  23407  esumdivc  23451  dya2ub  23575  heiborlem3  26537  heiborlem6  26540  heiborlem8  26542  heibor  26545  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  wallispi  27819  stirlinglem1  27823  stirlinglem6  27828  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator