MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Unicode version

Theorem rpreccld 10660
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 10637 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   1c1 8993    / cdiv 9679   RR+crp 10614
This theorem is referenced by:  rprecred  10661  resqrex  12058  rlimno1  12449  supcvg  12637  harmonic  12640  expcnv  12645  eirrlem  12805  prmreclem5  13290  prmreclem6  13291  met1stc  18553  met2ndci  18554  nmoi2  18766  bcthlem5  19283  ovolsca  19413  vitali  19507  ismbf3d  19548  itg2seq  19636  itg2mulclem  19640  itg2mulc  19641  aalioulem3  20253  aaliou3lem8  20264  dvradcnv  20339  tanregt0  20443  divlogrlim  20528  advlogexp  20548  logtayllem  20552  divcxp  20580  cxpcn3lem  20633  loglesqr  20644  ang180lem2  20654  asinlem3  20713  leibpi  20784  rlimcnp2  20807  efrlim  20810  cxplim  20812  cxp2lim  20817  divsqrsumlem  20820  amgmlem  20830  emcllem2  20837  emcllem4  20839  emcllem5  20840  emcllem6  20841  fsumharmonic  20852  basellem3  20867  basellem6  20870  logfaclbnd  21008  bclbnd  21066  rplogsumlem2  21181  rpvmasumlem  21183  dchrisum0lem2a  21213  log2sumbnd  21240  logdivbnd  21252  pntlemo  21303  smcnlem  22195  minvecolem3  22380  minvecolem4  22384  logbrec  24407  esumdivc  24475  dya2ub  24622  lgamgulmlem5  24819  lgambdd  24823  iprodgam  25321  faclimlem1  25364  faclimlem3  25366  faclim  25367  iprodfac  25368  heiborlem3  26524  heiborlem6  26527  heiborlem8  26529  heibor  26532  irrapxlem4  26890  irrapxlem5  26891  stoweid  27790  wallispi  27797  stirlinglem1  27801  stirlinglem6  27806  stirlinglem10  27810  stirlinglem11  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-rp 10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator