MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprecred Unicode version

Theorem rprecred 10448
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem rprecred
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 10447 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
32rpred 10437 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   RRcr 8781   1c1 8783    / cdiv 9468   RR+crp 10401
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10827  ltexp2r  11205  expnlbnd2  11279  rlimno1  12174  lebnumii  18517  sca2rab  18924  aalioulem4  19768  aalioulem5  19769  dvradcnv  19850  tanregt0  19954  divlogrlim  20035  logccv  20063  cxplt3  20100  asinlem3  20220  rlimcxp  20321  cxp2lim  20324  divsqrsumlem  20327  basellem3  20373  dchrisum0lema  20716  dchrisum0lem1  20718  dchrisum0lem2a  20719  mulog2sumlem1  20736  vmalogdivsum2  20740  pntrlog2bndlem2  20780  pntlemd  20796  pntlemr  20804  ostth3  20840  nmcexi  22661  irrapxlem4  26058  irrapxlem5  26059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-rp 10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator