MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpred Unicode version

Theorem rpred 10390
Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem rpred
StepHypRef Expression
1 rpssre 10364 . 2  |-  RR+  C_  RR
2 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
31, 2sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   RRcr 8736   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  rpxrd  10391  rpcnd  10392  rpregt0d  10396  rprege0d  10397  rprene0d  10398  rprecred  10401  ltmulgt11d  10421  ltmulgt12d  10422  gt0divd  10423  ge0divd  10424  lediv12ad  10445  xlemul1  10610  xov1plusxeqvd  10780  ltexp2a  11153  expcan  11154  ltexp2  11155  leexp2a  11157  expnlbnd2  11232  expmulnbnd  11233  sqrlem6  11733  cau3lem  11838  rlimcld2  12052  addcn2  12067  mulcn2  12069  reccn2  12070  o1rlimmul  12092  rlimno1  12127  caucvgrlem  12145  isumrpcl  12302  isumltss  12307  expcnv  12322  mertenslem1  12340  effsumlt  12391  recoshcl  12438  eirrlem  12482  rpnnen2lem11  12503  bitsmod  12627  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  4sqlem7  12991  ssblex  17974  metss2lem  18057  methaus  18066  met1stc  18067  met2ndci  18068  nlmvscnlem2  18196  nlmvscnlem1  18197  nrginvrcnlem  18201  nmoi2  18239  nghmcn  18254  reperflem  18323  iccntr  18326  icccmplem2  18328  reconnlem2  18332  opnreen  18336  metdcnlem  18341  metnrmlem3  18365  addcnlem  18368  cnheibor  18453  cnllycmp  18454  lebnumlem3  18461  lebnumii  18464  nmoleub2lem  18595  nmoleub2lem3  18596  nmoleub2lem2  18597  nmoleub3  18600  nmhmcn  18601  ipcnlem2  18671  ipcnlem1  18672  lmnn  18689  iscfil3  18699  cfilfcls  18700  iscmet3lem1  18717  iscmet3lem2  18718  bcthlem4  18749  bcthlem5  18750  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  ivthlem2  18812  ovolgelb  18839  ovollb2lem  18847  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem2  18862  ovolscalem1  18872  ioombl1lem2  18916  ioombl1lem4  18918  uniioombllem1  18936  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem5  18942  opnmbllem  18956  volcn  18961  vitalilem4  18966  itg2mulclem  19101  itg2monolem3  19107  itg2cnlem2  19117  itg2cn  19118  itggt0  19196  dveflem  19326  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  lhop1lem  19360  lhop1  19361  lhop  19363  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  dvcnvre  19366  dvfsumrlim  19378  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  plyeq0lem  19592  aalioulem2  19713  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  aaliou  19718  aaliou2b  19721  aaliou3lem1  19722  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem5  19727  aaliou3lem7  19729  aaliou3lem9  19730  ulmcn  19776  ulmdvlem1  19777  mtest  19781  itgulm  19784  psercn  19802  pserdvlem1  19803  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  abelthlem7  19814  pilem2  19828  divlogrlim  19982  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  logccv  20010  divcxp  20034  cxplt  20041  cxple2  20044  cxpcn3lem  20087  cxpaddlelem  20091  cxpaddle  20092  loglesqr  20098  leibpi  20238  rlimcnp3  20262  cxplim  20266  rlimcxp  20268  cxp2limlem  20270  cxp2lim  20271  cxploglim  20272  cxploglim2  20273  divsqrsumlem  20274  jensenlem2  20282  logdifbnd  20288  emcllem4  20292  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  ftalem1  20310  ftalem2  20311  ftalem3  20312  ftalem5  20314  basellem1  20318  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem8  20325  chtwordi  20394  chpchtsum  20458  logfacrlim  20463  logexprlim  20464  bclbnd  20519  efexple  20520  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem6  20528  bposlem7  20529  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chpo1ubb  20630  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisum0lem1a  20635  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrmusumlema  20642  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasumlema  20649  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  mulogsumlem  20680  logdivsum  20682  mulog2sumlem2  20684  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  log2sumbnd  20693  selberglem2  20695  selberg  20697  selberg2lem  20699  chpdifbndlem1  20702  chpdifbndlem2  20703  selberg3lem1  20706  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumbnd2  20716  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6a  20731  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem1  20738  pntibndlem2  20740  pntibndlem3  20741  pntibnd  20742  pntlemc  20744  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemg  20747  pntlemh  20748  pntlemn  20749  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemi  20753  pntlemf  20754  pntlemk  20755  pntlemo  20756  pntleme  20757  pntlem3  20758  pntlemp  20759  pntleml  20760  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  ostth2  20786  ostth3  20787  smcnlem  21270  blocnilem  21382  blocni  21383  ubthlem2  21450  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  minvecolem5  21460  nmcexi  22606  lnconi  22613  zetacvg  23100  geomcau  25887  sstotbnd2  25910  isbnd3  25920  prdsbnd2  25931  cntotbnd  25932  heibor1lem  25945  heiborlem6  25952  bfplem1  25958  bfplem2  25959  bfp  25960  rrndstprj2  25967  rrnequiv  25971  irrapxlem4  26322  irrapxlem5  26323  irrapx1  26325  pell1qrgaplem  26370  pell14qrgapw  26373  pellqrexplicit  26374  pellqrex  26376  pellfundge  26379  pellfundgt1  26380  rmspecfund  26406  rmxycomplete  26414  rpexpmord  26445  rmxypos  26446  stoweidlem62  27223  wallispilem5  27230  stirlinglem1  27235  stirlinglem4  27238  stirlinglem5  27239  stirlinglem6  27240  stirlinglem12  27246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rab 2552  df-in 3159  df-ss 3166  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator