MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 10647
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10640 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 10644 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  eirrlem  12795  prmreclem3  13278  prmreclem6  13281  cxprec  20569  cxpsqr  20586  cxpcn3lem  20623  cxplim  20802  cxploglim2  20809  divsqrsumlem  20810  divsqrsumo1  20814  fsumharmonic  20842  logfacubnd  20997  logfacbnd3  20999  bposlem1  21060  bposlem4  21063  bposlem7  21066  bposlem9  21068  dchrmusum2  21180  dchrvmasumlem3  21185  dchrisum0flblem2  21195  dchrisum0fno1  21197  dchrisum0lema  21200  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0lem2a  21203  dchrisum0lem2  21204  dchrisum0lem3  21205  chpdifbndlem2  21240  selberg3lem1  21243  pntrsumo1  21251  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem6a  21268  pntpbnd2  21273  pntibndlem2  21277  pntlemb  21283  pntlemg  21284  pntlemh  21285  pntlemn  21286  pntlemr  21288  pntlemj  21289  pntlemf  21291  pntlemk  21292  pntlemo  21293  blocnilem  22297  ubthlem2  22365  minvecolem4  22374  zetacvg  24791  irrapxlem4  26879  irrapxlem5  26880  stirlinglem3  27792  stirlinglem15  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator