MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Unicode version

Theorem rprege0d 10589
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10582 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 10586 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   RRcr 8924   0cc0 8925    <_ cle 9056   RR+crp 10546
This theorem is referenced by:  eirrlem  12732  prmreclem3  13215  prmreclem6  13218  cxprec  20446  cxpsqr  20463  cxpcn3lem  20500  cxplim  20679  cxploglim2  20686  divsqrsumlem  20687  divsqrsumo1  20691  fsumharmonic  20719  logfacubnd  20874  logfacbnd3  20876  bposlem1  20937  bposlem4  20940  bposlem7  20943  bposlem9  20945  dchrmusum2  21057  dchrvmasumlem3  21062  dchrisum0flblem2  21072  dchrisum0fno1  21074  dchrisum0lema  21077  dchrisum0lem1b  21078  dchrisum0lem1  21079  dchrisum0lem2a  21080  dchrisum0lem2  21081  dchrisum0lem3  21082  chpdifbndlem2  21117  selberg3lem1  21120  pntrsumo1  21128  pntrlog2bndlem2  21141  pntrlog2bndlem4  21143  pntrlog2bndlem6a  21145  pntpbnd2  21150  pntibndlem2  21154  pntlemb  21160  pntlemg  21161  pntlemh  21162  pntlemn  21163  pntlemr  21165  pntlemj  21166  pntlemf  21168  pntlemk  21169  pntlemo  21170  blocnilem  22155  ubthlem2  22223  minvecolem4  22232  zetacvg  24580  irrapxlem4  26581  irrapxlem5  26582  stirlinglem3  27495  stirlinglem15  27507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-rp 10547
  Copyright terms: Public domain W3C validator