MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 10660
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10653 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 10657 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994   0cc0 8995    <_ cle 9126   RR+crp 10617
This theorem is referenced by:  eirrlem  12808  prmreclem3  13291  prmreclem6  13294  cxprec  20582  cxpsqr  20599  cxpcn3lem  20636  cxplim  20815  cxploglim2  20822  divsqrsumlem  20823  divsqrsumo1  20827  fsumharmonic  20855  logfacubnd  21010  logfacbnd3  21012  bposlem1  21073  bposlem4  21076  bposlem7  21079  bposlem9  21081  dchrmusum2  21193  dchrvmasumlem3  21198  dchrisum0flblem2  21208  dchrisum0fno1  21210  dchrisum0lema  21213  dchrisum0lem1b  21214  dchrisum0lem1  21215  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  dchrisum0lem3  21218  chpdifbndlem2  21253  selberg3lem1  21256  pntrsumo1  21264  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem6a  21281  pntpbnd2  21286  pntibndlem2  21290  pntlemb  21296  pntlemg  21297  pntlemh  21298  pntlemn  21299  pntlemr  21301  pntlemj  21302  pntlemf  21304  pntlemk  21305  pntlemo  21306  blocnilem  22310  ubthlem2  22378  minvecolem4  22387  zetacvg  24804  irrapxlem4  26902  irrapxlem5  26903  stirlinglem3  27815  stirlinglem15  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-rp 10618
  Copyright terms: Public domain W3C validator