MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Unicode version

Theorem rprege0d 10413
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10406 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 10410 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  eirrlem  12498  prmreclem3  12981  prmreclem6  12984  cxprec  20049  cxpsqr  20066  cxpcn3lem  20103  cxplim  20282  cxploglim2  20289  divsqrsumlem  20290  divsqrsumo1  20294  fsumharmonic  20321  logfacubnd  20476  logfacbnd3  20478  bposlem1  20539  bposlem4  20542  bposlem7  20545  bposlem9  20547  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem3  20664  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0lema  20679  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  chpdifbndlem2  20719  selberg3lem1  20722  pntrsumo1  20730  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem6a  20747  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemh  20764  pntlemn  20765  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemk  20771  pntlemo  20772  blocnilem  21398  ubthlem2  21466  minvecolem4  21475  zetacvg  23704  irrapxlem4  27013  irrapxlem5  27014  stirlinglem3  27928  stirlinglem15  27940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator