MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpregt0d Structured version   Unicode version

Theorem rpregt0d 10646
Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpregt0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )

Proof of Theorem rpregt0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10640 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpgt0d 10643 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  reclt1d  10653  recgt1d  10654  ltrecd  10658  lerecd  10659  ltrec1d  10660  lerec2d  10661  lediv2ad  10662  ltdiv2d  10663  lediv2d  10664  ledivdivd  10665  divge0d  10676  ltmul1d  10677  ltmul2d  10678  lemul1d  10679  lemul2d  10680  ltdiv1d  10681  lediv1d  10682  ltmuldivd  10683  ltmuldiv2d  10684  lemuldivd  10685  lemuldiv2d  10686  ltdivmuld  10687  ltdivmul2d  10688  ledivmuld  10689  ledivmul2d  10690  ltdiv23d  10696  lediv23d  10697  lt2mul2divd  10698  mertenslem1  12653  isprm6  13101  nmoi  18754  icopnfhmeo  18960  nmoleub2lem3  19115  lmnn  19208  ovolscalem1  19401  aaliou2b  20250  birthdaylem3  20784  fsumharmonic  20842  bcmono  21053  chtppilim  21161  dchrisum0lem1a  21172  dchrvmasumiflem1  21187  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  mulog2sumlem2  21221  selberg3lem1  21243  pntrsumo1  21251  pntibndlem1  21275  pntibndlem3  21278  pntlemr  21288  pntlemj  21289  ostth3  21324  minvecolem3  22370  lnconi  23528  stoweidlem14  27730  stoweidlem34  27750  stoweidlem42  27758  stoweidlem51  27767  stoweidlem59  27775  stirlinglem5  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator