MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpregt0d Unicode version

Theorem rpregt0d 10579
Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpregt0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )

Proof of Theorem rpregt0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10573 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpgt0d 10576 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  A )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   RRcr 8915   0cc0 8916    < clt 9046   RR+crp 10537
This theorem is referenced by:  reclt1d  10586  recgt1d  10587  ltrecd  10591  lerecd  10592  ltrec1d  10593  lerec2d  10594  lediv2ad  10595  ltdiv2d  10596  lediv2d  10597  ledivdivd  10598  divge0d  10609  ltmul1d  10610  ltmul2d  10611  lemul1d  10612  lemul2d  10613  ltdiv1d  10614  lediv1d  10615  ltmuldivd  10616  ltmuldiv2d  10617  lemuldivd  10618  lemuldiv2d  10619  ltdivmuld  10620  ltdivmul2d  10621  ledivmuld  10622  ledivmul2d  10623  ltdiv23d  10629  lediv23d  10630  lt2mul2divd  10631  mertenslem1  12581  isprm6  13029  nmoi  18626  icopnfhmeo  18832  nmoleub2lem3  18987  lmnn  19080  ovolscalem1  19269  aaliou2b  20118  birthdaylem3  20652  fsumharmonic  20710  bcmono  20921  chtppilim  21029  dchrisum0lem1a  21040  dchrvmasumiflem1  21055  dchrisum0lem1b  21069  dchrisum0lem1  21070  mulog2sumlem2  21089  selberg3lem1  21111  pntrsumo1  21119  pntibndlem1  21143  pntibndlem3  21146  pntlemr  21156  pntlemj  21157  ostth3  21192  minvecolem3  22219  lnconi  23377  stoweidlem14  27424  stoweidlem34  27444  stoweidlem42  27452  stoweidlem51  27461  stoweidlem59  27469  stirlinglem5  27488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-br 4147  df-rp 10538
  Copyright terms: Public domain W3C validator