MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Unicode version

Theorem rrgeq0 16080
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
rrgval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rrgval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rrgval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rrgeq0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 rrgval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rrgval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 rrgval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51, 2, 3, 4rrgeq0i 16079 . . 3  |-  ( ( X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .x.  Y )  =  .0. 
->  Y  =  .0.  ) )
653adant1 973 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  ->  Y  =  .0.  ) )
7 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
81, 2, 3, 4rrgval 16077 . . . . . 6  |-  E  =  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  .0. 
->  y  =  .0.  ) }
9 ssrab2 3292 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  .0.  ->  y  =  .0.  ) } 
C_  B
108, 9eqsstri 3242 . . . . 5  |-  E  C_  B
11 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  E )
1210, 11sseldi 3212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
132, 3, 4rngrz 15427 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
15 oveq2 5908 . . . 4  |-  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
1615eqeq1d 2324 . . 3  |-  ( Y  =  .0.  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
1714, 16syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  .0.  ->  ( X  .x.  Y )  =  .0.  ) )
186, 17impbid 183 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  E  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .x.  Y
)  =  .0.  <->  Y  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   {crab 2581   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   .rcmulr 13256   0gc0g 13449   Ringcrg 15386  RLRegcrlreg 16069
This theorem is referenced by:  rrgsupp  16081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-rlreg 16073
  Copyright terms: Public domain W3C validator