Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgval Structured version   Unicode version

Theorem rrgval 16339
 Description: Value of the set or left-regular elements in a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e RLReg
rrgval.b
rrgval.t
rrgval.z
Assertion
Ref Expression
rrgval
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem rrgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . 2 RLReg
2 fveq2 5720 . . . . . 6
3 rrgval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2485 . . . . 5
5 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
6 rrgval.t . . . . . . . . . 10
75, 6syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
87oveqd 6090 . . . . . . . 8
9 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
10 rrgval.z . . . . . . . . 9
119, 10syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
128, 11eqeq12d 2449 . . . . . . 7
1311eqeq2d 2446 . . . . . . 7
1412, 13imbi12d 312 . . . . . 6
154, 14raleqbidv 2908 . . . . 5
164, 15rabeqbidv 2943 . . . 4
17 df-rlreg 16335 . . . 4 RLReg
18 fvex 5734 . . . . . 6
193, 18eqeltri 2505 . . . . 5
2019rabex 4346 . . . 4
2116, 17, 20fvmpt 5798 . . 3 RLReg
22 fvprc 5714 . . . 4 RLReg
23 fvprc 5714 . . . . . . 7
243, 23syl5eq 2479 . . . . . 6
25 rabeq 2942 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
27 rab0 3640 . . . . 5
2826, 27syl6eq 2483 . . . 4
2922, 28eqtr4d 2470 . . 3 RLReg
3021, 29pm2.61i 158 . 2 RLReg
311, 30eqtri 2455 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948  c0 3620  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  cmulr 13522  c0g 13715  RLRegcrlreg 16331 This theorem is referenced by:  isrrg  16340  rrgeq0  16342  rrgss  16344 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-rlreg 16335
 Copyright terms: Public domain W3C validator