Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Unicode version

Theorem rrncms 26557
Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrncms  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables  f  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
4 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  I  e.  Fin )
5 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  ( Cau `  ( Rn
`  I ) ) )
6 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f : NN --> X )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( f `  t
) `  m )
) ) )  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( f `
 t ) `  m ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 26556 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) )
98ex 423 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  -> 
( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
109ralrimiva 2626 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
11 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 10 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  1  e.  ZZ )
141rrnmet 26553 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
1511, 3, 13, 14iscmet3 18719 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) ) )
1610, 15mpbird 223 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   RRcr 8736   1c1 8738    - cmin 9037   NNcn 9746   ZZcz 10024   abscabs 11719    ~~> cli 11958   MetOpencmopn 16372   ~~> tclm 16956   Caucca 18679   CMetcms 18680   Rncrrn 26549
This theorem is referenced by:  rrnheibor  26561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-lm 16959  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-rrn 26550
  Copyright terms: Public domain W3C validator