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Theorem rrncmslem 26659
Description: Lemma for rrncms 26660. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
rrncms.3  |-  J  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
rrncms.4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
rrncms.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )
rrncms.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
rrncms.7  |-  P  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
rrncmslem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    m, I    t, m, F
Allowed substitution hints:    ph( t, m)    P( t, m)    I( t)    J( t, m)    M( t, m)    X( t, m)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables  k  n  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 16976 . 2  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
2 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  m )
) )  e.  _V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  m ) ) ) )
42, 3fnmpti 5388 . . . . . . 7  |-  P  Fn  I
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  Fn  I )
6 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10069 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
87a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  1  e.  ZZ )
9 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  k  ->  ( F `  t )  =  ( F `  k ) )
109fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  k  ->  (
( F `  t
) `  n )  =  ( ( F `
 k ) `  n ) )
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) )  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) )
12 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k ) `
 n )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 n ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 n ) )
15 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
1715, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
18 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
1917, 18syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( RR  ^m  I
) )
20 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  ^m  I )  ->  ( F `  k ) : I --> RR )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) : I --> RR )
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
) : I --> RR  /\  n  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) `  n
)  e.  RR )
2321, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  I )  ->  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR )
2423an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR )
2514, 24eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  e.  RR )
2625recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  e.  CC )
27 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )
28 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2918rrnmet 26656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
31 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( Rn `  I )  e.  ( * Met `  X
) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Rn `  I
)  e.  ( * Met `  X ) )
337a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
34 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
35 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
366, 32, 33, 34, 35, 15iscauf 18722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  ( Rn
`  I ) )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x ) )
3727, 36mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x )
3928ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  I  e.  Fin )
40 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  I
)
4115ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  F : NN --> X )
426uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
4342adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
4441, 43, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
45 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  j  e.  NN )
46 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : NN --> X  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
4741, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
48 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4918, 48rrndstprj1 26657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  n  e.  I )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 j )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <_  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) ( F `  j ) ) )
5039, 40, 44, 47, 49syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) ( F `
 j ) ) )
5130ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X ) )
52 metsym 17930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) ) )
5351, 44, 47, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) ( F `  j
) )  =  ( ( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5450, 53breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5554adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  <_  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) ) )
5648remet 18312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  M  e.  ( Met `  RR )
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  M  e.  ( Met `  RR ) )
58 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ph  /\  n  e.  I )
)
5958, 43, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 k ) `  n )  e.  RR )
6015, 46sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  X )
6160, 18syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  ( RR  ^m  I
) )
62 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( RR  ^m  I )  ->  ( F `  j ) : I --> RR )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j ) : I --> RR )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  j
) : I --> RR  /\  n  e.  I )  ->  ( ( F `  j ) `  n
)  e.  RR )
6563, 64sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  I )  ->  (
( F `  j
) `  n )  e.  RR )
6665an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  j
) `  n )  e.  RR )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) `  n )  e.  RR )
68 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ( Met `  RR )  /\  (
( F `  k
) `  n )  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) `
 n )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  e.  RR )
6957, 59, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  e.  RR )
7069adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  e.  RR )
71 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
7251, 47, 44, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  e.  RR )
7372adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  e.  RR )
74 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
7574adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  x  e.  RR )
77 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  <_ 
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  /\  ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x )  ->  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x ) )
7870, 73, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <_  ( ( F `
 j ) ( Rn `  I ) ( F `  k
) )  /\  (
( F `  j
) ( Rn `  I ) ( F `
 k ) )  <  x )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
7955, 78mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x  ->  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x ) )
8079ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x ) )
8180reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) ( Rn `  I
) ( F `  k ) )  < 
x  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
8281ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x )
)
8348remetdval 18311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  k ) `  n
)  e.  RR  /\  ( ( F `  j ) `  n
)  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( ( F `
 j ) `  n ) ) ) )
8459, 67, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( ( F `
 j ) `  n ) ) ) )
8543, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  =  ( ( F `  k ) `  n
) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  j  ->  ( F `  t )  =  ( F `  j ) )
8786fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  j  ->  (
( F `  t
) `  n )  =  ( ( F `
 j ) `  n ) )
88 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  j ) `
 n )  e. 
_V
8987, 11, 88fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
)  =  ( ( F `  j ) `
 n ) )
9089ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 j )  =  ( ( F `  j ) `  n
) )
9185, 90oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) `  k )  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 j ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 n )  -  ( ( F `  j ) `  n
) ) )
9291fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  n
)  -  ( ( F `  j ) `
 n ) ) ) )
9384, 92eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( ( F `  j ) `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  k
)  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) `  j )
) ) )
9493breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9594ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k ) `  n
) M ( ( F `  j ) `
 n ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9695rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( ( F `
 j ) `  n ) )  < 
x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  -  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  j ) ) )  <  x ) )
9796ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( ( F `  j
) `  n )
)  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9882, 97sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) ( Rn
`  I ) ( F `  k ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x ) )
9938, 98mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) `  k )  -  (
( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) ) `  j
) ) )  < 
x )
100 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
101100mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) )  e.  _V
102101a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  _V )
1036, 26, 99, 102caucvg 12167 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  dom  ~~>  )
104 climdm 12044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  e.  dom  ~~>  <->  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) )  ~~>  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) ) )
105103, 104sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  ~~>  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) ) )
106 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  t
) `  m )  =  ( ( F `
 t ) `  n ) )
107106mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  m )
)  =  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) )
108107fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  m
) ) )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `
 t ) `  n ) ) ) )
109 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
) )  e.  _V
110108, 3, 109fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  I  ->  ( P `  n )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) ) )
111110adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n )  =  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) ) )
112105, 111breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  (
t  e.  NN  |->  ( ( F `  t
) `  n )
)  ~~>  ( P `  n ) )
1136, 8, 112, 25climrecl 12073 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n )  e.  RR )
114113ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I 
( P `  n
)  e.  RR )
115 ffnfv 5701 . . . . . 6  |-  ( P : I --> RR  <->  ( P  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( P `  n )  e.  RR ) )
1165, 114, 115sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : I --> RR )
117 reex 8844 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
118 elmapg 6801 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( P  e.  ( RR  ^m  I )  <-> 
P : I --> RR ) )
119117, 28, 118sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( RR  ^m  I )  <-> 
P : I --> RR ) )
120116, 119mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( RR 
^m  I ) )
121120, 18syl6eleqr 2387 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
122 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12328ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  Fin )
12417adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
125121ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  P  e.  X )
12618rrnmval 26655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  =  ( sqr `  sum_ y  e.  I  (
( ( ( F `
 k ) `  y )  -  ( P `  y )
) ^ 2 ) ) )
127123, 124, 125, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  ( sqr `  sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 ) ) )
128 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =  (/) )
129128sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  -> 
sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 )  =  sum_ y  e.  (/)  ( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 ) )
130 sum0 12210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ y  e.  (/)  ( ( ( ( F `  k
) `  y )  -  ( P `  y ) ) ^
2 )  =  0
131129, 130syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  -> 
sum_ y  e.  I 
( ( ( ( F `  k ) `
 y )  -  ( P `  y ) ) ^ 2 )  =  0 )
132131fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  sum_ y  e.  I  (
( ( ( F `
 k ) `  y )  -  ( P `  y )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  0 ) )
133127, 132eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  ( sqr `  0 ) )
134 sqr0 11743 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  0 )  =  0
135133, 134syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  =  0 )
136 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
137136rpgt0d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  x )
138135, 137eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
139138ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
)
140 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
141140, 6syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  NN )
142141raleqdv 2755 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  <  x  <->  A. k  e.  NN  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
) )
143142rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. k  e.  NN  (
( F `  k
) ( Rn `  I ) P )  <  x )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x )
144122, 139, 143sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
145144expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( I  =  (/)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
1467a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  1  e.  ZZ )
147 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  RR+ )
148 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  I  =/=  (/) )
14928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  I  e.  Fin )
150 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
151149, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
152148, 151mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
153152nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
154153rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
155147, 154rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
156155adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
15713adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `
 n ) ) `
 k )  =  ( ( F `  k ) `  n
) )
158112adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( t  e.  NN  |->  ( ( F `  t ) `  n
) )  ~~>  ( P `
 n ) )
1596, 146, 156, 157, 158climi2 12001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
1606rexuz3 11848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
1617, 160ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
16224adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k ) `  n )  e.  RR )
163113adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( P `  n
)  e.  RR )
164163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  n )  e.  RR )
16548remetdval 18311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  k ) `  n
)  e.  RR  /\  ( P `  n )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) ) )
166162, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( P `  n ) ) ) )
167166breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
16842, 167sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
169168anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) `  n
) M ( P `
 n ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  n
)  -  ( P `
 n ) ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
170169ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  n )  -  ( P `  n ) ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
171170rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
172161, 171syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  n )  -  ( P `  n )
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173159, 172mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  I )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
174173ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
1756rexuz3 11848 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
1767, 175ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
177 rexfiuz 11847 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
178149, 177syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
179176, 178syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  <->  A. n  e.  I  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
180174, 179mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
18128ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  Fin )
182 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =/=  (/) )
183 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
184181, 182, 183sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
18515adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  F : NN --> X )
186185, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
187121ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  P  e.  X )
188155adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
18918, 48rrndstprj2 26658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  ( F `
 k )  e.  X  /\  P  e.  X )  /\  (
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )  ->  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) P )  < 
( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
190189expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  ( F `
 k )  e.  X  /\  P  e.  X )  /\  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A. n  e.  I  (
( ( F `  k ) `  n
) M ( P `
 n ) )  <  ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  ->  ( ( F `  k )
( Rn `  I
) P )  < 
( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
191184, 186, 187, 188, 190syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  ( ( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
192 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
193192rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
194154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
195194rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
196194rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  =/=  0 )
197193, 195, 196divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( x  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  x )
198197breq2d 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  (
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( F `
 k ) ( Rn `  I ) P )  <  x
) )
199191, 198sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( ( F `  k ) `
 n ) M ( P `  n
) )  <  (
x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
20042, 199sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
201200anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
202201ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I 
( ( ( F `
 k ) `  n ) M ( P `  n ) )  <  ( x  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
203202reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  I  ( (
( F `  k
) `  n ) M ( P `  n ) )  < 
( x  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x ) )
204180, 203mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  I  =/=  (/) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
205204expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( I  =/=  (/)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) )
206145, 205pm2.61dne 2536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x )
207206ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) ( Rn `  I
) P )  < 
x )
208 rrncms.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
209208, 32, 6, 33, 34, 15lmmbrf 18704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) ( Rn
`  I ) P )  <  x ) ) )
210121, 207, 209mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
211 releldm 4927 . 2  |-  ( ( Rel  ( ~~> t `  J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
2121, 210, 211sylancr 644 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ^cexp 11120   #chash 11353   sqrcsqr 11734   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   ~~> tclm 16972   Caucca 18695   Rncrrn 26652
This theorem is referenced by:  rrncms  26660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lm 16975  df-cau 18698  df-rrn 26653
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