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Theorem rrndstprj1 26539
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
5 elmapi 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F : I --> RR )
76ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
98, 3syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
10 elmapi 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G : I --> RR )
1211ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 11549 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
1513sqge0d 11550 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
16 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( F `  k )  =  ( F `  A ) )
17 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( G `  k )  =  ( G `  A ) )
1816, 17oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) )
1918oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
20 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A  e.  I )
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 12576 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A )  -  ( G `  A ) ) ^ 2 )  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
226, 20ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR )
2311, 20ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G `  A
)  e.  RR )
2422, 23resubcld 9465 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  RR )
25 absresq 12107 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  -  ( G `
 A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  A )  -  ( G `  A ) ) ^
2 ) )
271, 14fsumrecl 12528 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
281, 14, 15fsumge0 12574 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  sum_ k  e.  I  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
29 resqrth 12061 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
3121, 26, 303brtr4d 4242 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
3224recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  -  ( G `  A )
)  e.  CC )
3332abscld 12238 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  e.  RR )
3427, 28resqrcld 12220 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
3532absge0d 12246 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
3627, 28sqrge0d 12223 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
3733, 34, 35, 36le2sqd 11558 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
3831, 37mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  ( G `
 A ) ) )  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
39 rrndstprj1.1 . . . 4  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
4039remetdval 18820 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
4122, 23, 40syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A )  -  ( G `  A )
) ) )
423rrnmval 26537 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
43423expb 1154 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) ) )
4443adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
4538, 41, 443brtr4d 4242 1  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  A  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) M ( G `  A ) )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    X. cxp 4876    |` cres 4880    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121    - cmin 9291   2c2 10049   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   abscabs 12039   sum_csu 12479   Rncrrn 26534
This theorem is referenced by:  rrncmslem  26541  rrnequiv  26544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rrn 26535
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