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Theorem rrndstprj2 26658
Description: Bound on the distance between two points in Euclidean space given bounds on the distances in each coordinate. This theorem and rrndstprj1 26657 can be used to show that the supremum norm and Euclidean norm are equivalent. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, M    R, n    n, F
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem rrndstprj2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
2 eldifi 3311 . . . 4  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  ->  I  e.  Fin )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  Fin )
4 simpl2 959 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  X
)
5 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  X
)
6 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
76rrnmval 26655 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
83, 4, 5, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
9 eldifsni 3763 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  ->  I  =/=  (/) )
101, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  =/=  (/) )
114, 6syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
12 elmapi 6808 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
1311, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F : I --> RR )
14 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> RR  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
1513, 14sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
165, 6syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
17 elmapi 6808 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G : I --> RR )
19 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : I --> RR  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
2018, 19sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2115, 20resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  RR )
2221resqcld 11287 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
23 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2423rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR )
2524resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
2625adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
27 absresq 11803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
2821, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
29 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
3029remetdval 18311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
3115, 20, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) )
32 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
34 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
3533, 34oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  =  ( ( F `
 k ) M ( G `  k
) ) )
3635breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  <->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R ) )
3736rspccva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  <  R )
3832, 37sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R )
3931, 38eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  R
)
4021recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  CC )
4140abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  e.  RR )
4224adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  R  e.  RR )
4340absge0d 11942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ) )
4423rpge0d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  R
)
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  R )
4641, 42, 43, 45lt2sqd 11295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )  <  R  <->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^
2 ) ) )
4739, 46mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^ 2 ) )
4828, 47eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) )
493, 10, 22, 26, 48fsumlt 12274 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  <  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
503, 22fsumrecl 12223 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5121sqge0d 11288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
523, 22, 51fsumge0 12269 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
53 resqrth 11757 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
5450, 52, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
55 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
563, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
5710, 56mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  NN )
5857nnrpd 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR+ )
5958rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
6058rpge0d 10410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( # `
 I ) )
61 resqrth 11757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  I
) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 )  =  ( # `  I
) )
6259, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( # `  I
) ) ^ 2 )  =  ( # `  I ) )
6362oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) ) )
6425recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  CC )
6558rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
6664, 65mulcomd 8872 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6763, 66eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6823rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  CC )
6958rpsqrcld 11910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
7069rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
7168, 70sqmuld 11273 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) ) )
72 fsumconst 12268 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( R ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  I  ( R ^ 2 )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
733, 64, 72syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 )  =  ( (
# `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
7467, 71, 733eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
7549, 54, 743brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) )
7650, 52resqrcld 11916 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
7723, 69rpmulcld 10422 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR+ )
7877rpred 10406 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR )
7950, 52sqrge0d 11919 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
8077rpge0d 10410 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
8176, 78, 79, 80lt2sqd 11295 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) ) )
8275, 81mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
838, 82eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120   #chash 11353   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   sum_csu 12174   Rncrrn 26652
This theorem is referenced by:  rrncmslem  26659  rrnequiv  26662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-rrn 26653
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