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Theorem rrndstprj2 26531
Description: Bound on the distance between two points in Euclidean space given bounds on the distances in each coordinate. This theorem and rrndstprj1 26530 can be used to show that the supremum norm and Euclidean norm are equivalent. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrndstprj1.1  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
rrndstprj2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, M    R, n    n, F
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem rrndstprj2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/) } ) )
21eldifad 3324 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  e.  Fin )
3 simpl2 961 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  X
)
4 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  X
)
5 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
65rrnmval 26528 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
72, 3, 4, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
8 eldifsni 3920 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  ->  I  =/=  (/) )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  I  =/=  (/) )
103, 5syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
11 elmapi 7030 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  F : I --> RR )
1312ffvelrnda 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
144, 5syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
15 elmapi 7030 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  G : I --> RR )
1716ffvelrnda 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1813, 17resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  RR )
1918resqcld 11541 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
20 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  RR )
2221resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  RR )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
24 absresq 12099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ^
2 ) )
2518, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
26 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
2726remetdval 18812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
2813, 17, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) )
29 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R )
30 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
31 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
3230, 31oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  =  ( ( F `
 k ) M ( G `  k
) ) )
3332breq1d 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  <->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R ) )
3433rspccva 3043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( F `  n ) M ( G `  n ) )  <  R  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  <  R )
3529, 34sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k ) M ( G `  k ) )  < 
R )
3628, 35eqbrtrrd 4226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  R
)
3718recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  e.  CC )
3837abscld 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  e.  RR )
3921adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  R  e.  RR )
4037absge0d 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) ) )
4120rpge0d 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  R
)
4241adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  R )
4338, 39, 40, 42lt2sqd 11549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )  <  R  <->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^
2 ) ) )
4436, 43mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ) ^ 2 )  <  ( R ^ 2 ) )
4525, 44eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) )
462, 9, 19, 23, 45fsumlt 12571 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  <  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
472, 19fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4818sqge0d 11542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  /\  k  e.  I
)  ->  0  <_  ( ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )
492, 19, 48fsumge0 12566 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
50 resqrth 12053 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
5147, 49, 50syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )
52 hashnncl 11637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
532, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
549, 53mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  NN )
5554nnrpd 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR+ )
5655rpred 10640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  RR )
5755rpge0d 10644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( # `
 I ) )
58 resqrth 12053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  I
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  I
) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 )  =  ( # `  I
) )
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( # `  I
) ) ^ 2 )  =  ( # `  I ) )
6059oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) ) )
6122recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R ^
2 )  e.  CC )
6255rpcnd 10642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( # `  I
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 9101 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( # `  I
) )  =  ( ( # `  I
)  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6460, 63eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
6520rpcnd 10642 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  R  e.  CC )
6655rpsqrcld 12206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR+ )
6766rpcnd 10642 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  CC )
6865, 67sqmuld 11527 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( # `
 I ) ) ^ 2 ) ) )
69 fsumconst 12565 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( R ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  I  ( R ^ 2 )  =  ( ( # `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
702, 61, 69syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 )  =  ( (
# `  I )  x.  ( R ^ 2 ) ) )
7164, 68, 703eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I 
( R ^ 2 ) )
7246, 51, 713brtr4d 4234 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) )
7347, 49resqrcld 12212 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
7420, 66rpmulcld 10656 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR+ )
7574rpred 10640 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I ) ) )  e.  RR )
7647, 49sqrge0d 12215 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
7774rpge0d 10644 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  0  <_  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
7873, 75, 76, 77lt2sqd 11549 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <  ( ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ^ 2 ) ) )
7972, 78mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
807, 79eqbrtrd 4224 1  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( R  e.  RR+  /\  A. n  e.  I  (
( F `  n
) M ( G `
 n ) )  <  R ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( R  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   RR+crp 10604   ^cexp 11374   #chash 11610   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   sum_csu 12471   Rncrrn 26525
This theorem is referenced by:  rrncmslem  26532  rrnequiv  26535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rrn 26526
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