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Theorem rrnequiv 26065
Description: The supremum metric on  RR ^ I is equivalent to the  Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
rrnequiv.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
rrnequiv.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnequiv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
rrnequiv  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables  k 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  Y
)
2 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  (flds  RR )  e.  _V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
6 reex 8975 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
7 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
8 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar ` fld )
97, 8resssca 13491 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  e.  _V  ->  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR )
) )
106, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR ) )
115, 10pwsval 13595 . . . . . . . 8  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
122, 4, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld )
X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
1312fveq2d 5636 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( dist `  Y )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
141, 13syl5eq 2410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  =  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
1514oveqd 5998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  ( F ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G ) )
16 fconstmpt 4835 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { (flds  RR ) } )  =  ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) )
1716oveq2i 5992 . . . . 5  |-  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) )  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) ) )
18 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
19 fvex 5646 . . . . . 6  |-  (Scalar ` fld )  e.  _V
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
(Scalar ` fld )  e.  _V )
212a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (flds  RR )  e.  _V )
2221ralrimiva 2711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
(flds  RR )  e.  _V )
23 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
25 ax-resscn 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
26 cnfldbas 16597 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
277, 26ressbas2 13407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) ) )
2825, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) )
295, 28pwsbas 13596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
302, 4, 29sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
3112fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3230, 31eqtrd 2398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3324, 32syl5eq 2410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  X  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3423, 33eleqtrd 2442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
35 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
3635, 33eleqtrd 2442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
37 cnfldds 16603 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
387, 37ressds 13528 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR )
) )
396, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR ) )
4039reseq1i 5054 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist `  (flds  RR )
)  |`  ( RR  X.  RR ) )
41 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 13594 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G )  =  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
4315, 42eqtrd 2398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
44 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4524, 44rrndstprj1 26060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  k  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4645an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
473, 46sylanl1 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4847ralrimiva 2711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
49 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
5049rgenw 2695 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
51 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )
52 breq1 4128 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5351, 52ralrnmpt 5780 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V  ->  ( A. z  e. 
ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5450, 53ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5548, 54sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5624rrnmet 26059 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
574, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
58 metge0 18123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
5957, 23, 35, 58syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
60 elsni 3753 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
6160breq1d 4135 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  0  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6259, 61syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( z  e.  {
0 }  ->  z  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
6362ralrimiv 2710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
64 ralunb 3444 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  A. z  e. 
{ 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6555, 63, 64sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) )
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 13592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  RR )
6766r19.21bi 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 13592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( G `  k
)  e.  RR )
6968r19.21bi 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7044remet 18509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
71 metcl 18110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7270, 71mp3an1 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7367, 69, 72syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
7473, 51fmptd 5795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) : I --> RR )
75 frn 5501 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
7674, 75syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
77 ressxr 9023 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7876, 77syl6ss 3277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR* )
79 0xr 9025 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR* )
8180snssd 3858 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
8278, 81unssd 3439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
83 metcl 18110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
8457, 23, 35, 83syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR )
8577, 84sseldi 3264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR* )
86 supxrleub 10798 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( F ( Rn `  I
) G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8865, 87mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
8943, 88eqbrtrd 4145 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
90 rzal 3644 . . . . . . 7  |-  ( I  =  (/)  ->  A. k  e.  I  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
9123, 24syl6eleq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
92 elmapi 6935 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
93 ffn 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> RR  ->  F  Fn  I )
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  Fn  I )
9535, 24syl6eleq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
96 elmapi 6935 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
97 ffn 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( G : I --> RR  ->  G  Fn  I )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  Fn  I )
99 eqfnfv 5729 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  I  /\  G  Fn  I )  ->  ( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10190, 100syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  =  (/)  ->  F  =  G ) )
102101imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  F  =  G )
103102oveq1d 5996 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  =  ( G ( Rn
`  I ) G ) )
104 met0 18121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  G  e.  X )  ->  ( G ( Rn `  I ) G )  =  0 )
10557, 35, 104syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  =  0 )
106 hashcl 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
1074, 106syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  NN0 )
108107nn0red 10168 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  RR )
109107nn0ge0d 10170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( # `  I
) )
110108, 109resqrcld 12107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR )
1115, 1, 24repwsmet 26064 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1124, 111syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
113 metcl 18110 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  e.  RR )
114112, 23, 35, 113syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  e.  RR )
115108, 109sqrge0d 12110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( # `  I
) ) )
116 metge0 18123 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
117112, 23, 35, 116syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F D G ) )
118110, 114, 115, 117mulge0d 9496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4145 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
120119adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( G
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
121103, 120eqbrtrd 4145 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
12284adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
123110, 114remulcld 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
124123adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
125 rpre 10511 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
126125ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
127124, 126readdcld 9009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r )  e.  RR )
1284adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
129 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  =/=  (/) )
130 eldifsn 3842 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
131128, 129, 130sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/)
} ) )
13223adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  F  e.  X )
13335adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  X )
134114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  RR )
135 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
136 hashnncl 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
137128, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
138129, 137mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
139138nnrpd 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
140139rpsqrcld 12101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
141135, 140rpdivcld 10558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
142141rpred 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR )
143134, 142readdcld 9009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR )
144 0re 8985 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
145144a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  e.  RR )
146117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
147134, 141ltaddrpd 10570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  < 
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
149143, 148elrpd 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR+ )
15073adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
151134adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  e.  RR )
152143adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR )
15382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
154 ssun1 3426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  C_  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } )
155 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
15651elrnmpt1 5031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  I  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  _V )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
157155, 49, 156sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
158154, 157sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
159 supxrub 10796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
160153, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
16143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
162160, 161breqtrrd 4151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F D G ) )
163147adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  <  ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164ralrimiva 2711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
16624, 44rrndstprj2 26061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
168134recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  CC )
169142recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  CC )
170110adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR )
171170recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  CC )
172168, 169, 171adddird 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173168, 171mulcomd 9003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
174126recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
175140rpne0d 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  =/=  0
)
176174, 171, 175divcan1d 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  r )
177173, 176oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
178172, 177eqtrd 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
179167, 178breqtrd 4149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
180122, 127, 179ltled 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
181180anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  I  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
182181ralrimiva 2711 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
183 alrple 10685 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )  ->  (
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
18484, 123, 183syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
185184adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
186182, 185mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
187121, 186pm2.61dane 2607 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
18889, 187jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179    X. cxp 4790   ran crn 4793    |` cres 4794    o. ccom 4796    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   supcsup 7340   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884    + caddc 8887    x. cmul 8889   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   NN0cn0 10114   RR+crp 10505   #chash 11505   sqrcsqr 11925   abscabs 11926   Basecbs 13356   ↾s cress 13357  Scalarcsca 13419   distcds 13425   X_scprds 13556    ^s cpws 13557   Metcme 16580  ℂfldccnfld 16593   Rncrrn 26055
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-pws 13560  df-xmet 16586  df-met 16587  df-cnfld 16594  df-rrn 26056
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