Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Unicode version

Theorem rrnequiv 26582
 Description: The supremum metric on is equivalent to the metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y flds s
rrnequiv.d
rrnequiv.1
rrnequiv.i
Assertion
Ref Expression
rrnequiv

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6
2 ovex 6135 . . . . . . . 8 flds
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9
43adantr 453 . . . . . . . 8
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 flds s
6 reex 9112 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11 flds flds
8 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11 Scalarfld Scalarfld
97, 8resssca 13635 . . . . . . . . . 10 Scalarfld Scalarflds
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Scalarfld Scalarflds
115, 10pwsval 13739 . . . . . . . 8 flds Scalarflds flds
122, 4, 11sylancr 646 . . . . . . 7 Scalarflds flds
1312fveq2d 5761 . . . . . 6 Scalarflds flds
141, 13syl5eq 2486 . . . . 5 Scalarflds flds
1514oveqd 6127 . . . 4 Scalarflds flds
16 fconstmpt 4950 . . . . . 6 flds flds
1716oveq2i 6121 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
18 eqid 2442 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
19 fvex 5771 . . . . . 6 Scalarfld
2019a1i 11 . . . . 5 Scalarfld
212a1i 11 . . . . . 6 flds
2221ralrimiva 2795 . . . . 5 flds
23 simprl 734 . . . . . 6
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7
25 ax-resscn 9078 . . . . . . . . . . 11
26 cnfldbas 16738 . . . . . . . . . . . 12 fld
277, 26ressbas2 13551 . . . . . . . . . . 11 flds
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 flds
295, 28pwsbas 13740 . . . . . . . . 9 flds
302, 4, 29sylancr 646 . . . . . . . 8
3112fveq2d 5761 . . . . . . . 8 Scalarflds flds
3230, 31eqtrd 2474 . . . . . . 7 Scalarflds flds
3324, 32syl5eq 2486 . . . . . 6 Scalarflds flds
3423, 33eleqtrd 2518 . . . . 5 Scalarflds flds
35 simprr 735 . . . . . 6
3635, 33eleqtrd 2518 . . . . 5 Scalarflds flds
37 cnfldds 16744 . . . . . . . 8 fld
387, 37ressds 13672 . . . . . . 7 flds
396, 38ax-mp 5 . . . . . 6 flds
4039reseq1i 5171 . . . . 5 flds
41 eqid 2442 . . . . 5 Scalarflds flds Scalarflds flds
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 13738 . . . 4 Scalarflds flds
4315, 42eqtrd 2474 . . 3
44 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
4524, 44rrndstprj1 26577 . . . . . . . . 9
4645an32s 781 . . . . . . . 8
473, 46sylanl1 633 . . . . . . 7
4847ralrimiva 2795 . . . . . 6
49 ovex 6135 . . . . . . . 8
5049rgenw 2779 . . . . . . 7
51 eqid 2442 . . . . . . . 8
52 breq1 4240 . . . . . . . 8
5351, 52ralrnmpt 5907 . . . . . . 7
5450, 53ax-mp 5 . . . . . 6
5548, 54sylibr 205 . . . . 5
5624rrnmet 26576 . . . . . . . . 9
574, 56syl 16 . . . . . . . 8
58 metge0 18406 . . . . . . . 8
5957, 23, 35, 58syl3anc 1185 . . . . . . 7
60 elsni 3862 . . . . . . . 8
6160breq1d 4247 . . . . . . 7
6259, 61syl5ibrcom 215 . . . . . 6
6362ralrimiv 2794 . . . . 5
64 ralunb 3514 . . . . 5
6555, 63, 64sylanbrc 647 . . . 4
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 13736 . . . . . . . . . . 11
6766r19.21bi 2810 . . . . . . . . . 10
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 13736 . . . . . . . . . . 11
6968r19.21bi 2810 . . . . . . . . . 10
7044remet 18852 . . . . . . . . . . 11
71 metcl 18393 . . . . . . . . . . 11
7270, 71mp3an1 1267 . . . . . . . . . 10
7367, 69, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9
7473, 51fmptd 5922 . . . . . . . 8
75 frn 5626 . . . . . . . 8
7674, 75syl 16 . . . . . . 7
77 ressxr 9160 . . . . . . 7
7876, 77syl6ss 3346 . . . . . 6
79 0xr 9162 . . . . . . . 8
8079a1i 11 . . . . . . 7
8180snssd 3967 . . . . . 6
8278, 81unssd 3509 . . . . 5
83 metcl 18393 . . . . . . 7
8457, 23, 35, 83syl3anc 1185 . . . . . 6
8577, 84sseldi 3332 . . . . 5
86 supxrleub 10936 . . . . 5
8782, 85, 86syl2anc 644 . . . 4
8865, 87mpbird 225 . . 3
8943, 88eqbrtrd 4257 . 2
90 rzal 3753 . . . . . . 7
9123, 24syl6eleq 2532 . . . . . . . . 9
92 elmapi 7067 . . . . . . . . 9
93 ffn 5620 . . . . . . . . 9
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . . 8
9535, 24syl6eleq 2532 . . . . . . . . 9
96 elmapi 7067 . . . . . . . . 9
97 ffn 5620 . . . . . . . . 9
9895, 96, 973syl 19 . . . . . . . 8
99 eqfnfv 5856 . . . . . . . 8
10094, 98, 99syl2anc 644 . . . . . . 7
10190, 100syl5ibr 214 . . . . . 6
102101imp 420 . . . . 5
103102oveq1d 6125 . . . 4
104 met0 18404 . . . . . . 7
10557, 35, 104syl2anc 644 . . . . . 6
106 hashcl 11670 . . . . . . . . . 10
1074, 106syl 16 . . . . . . . . 9
108107nn0red 10306 . . . . . . . 8
109107nn0ge0d 10308 . . . . . . . 8
110108, 109resqrcld 12251 . . . . . . 7
1115, 1, 24repwsmet 26581 . . . . . . . . 9
1124, 111syl 16 . . . . . . . 8
113 metcl 18393 . . . . . . . 8
114112, 23, 35, 113syl3anc 1185 . . . . . . 7
115108, 109sqrge0d 12254 . . . . . . 7
116 metge0 18406 . . . . . . . 8
117112, 23, 35, 116syl3anc 1185 . . . . . . 7
118110, 114, 115, 117mulge0d 9634 . . . . . 6
119105, 118eqbrtrd 4257 . . . . 5
120119adantr 453 . . . 4
121103, 120eqbrtrd 4257 . . 3
12284adantr 453 . . . . . . 7
123110, 114remulcld 9147 . . . . . . . . 9
124123adantr 453 . . . . . . . 8
125 rpre 10649 . . . . . . . . 9
126125ad2antll 711 . . . . . . . 8
127124, 126readdcld 9146 . . . . . . 7
1284adantr 453 . . . . . . . . . 10
129 simprl 734 . . . . . . . . . 10
130 eldifsn 3951 . . . . . . . . . 10
131128, 129, 130sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
13223adantr 453 . . . . . . . . 9
13335adantr 453 . . . . . . . . 9
134114adantr 453 . . . . . . . . . . 11
135 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13
136 hashnncl 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137128, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138129, 137mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138nnrpd 10678 . . . . . . . . . . . . . 14
140139rpsqrcld 12245 . . . . . . . . . . . . 13
141135, 140rpdivcld 10696 . . . . . . . . . . . 12
142141rpred 10679 . . . . . . . . . . 11
143134, 142readdcld 9146 . . . . . . . . . 10
144 0re 9122 . . . . . . . . . . . 12
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11
146117adantr 453 . . . . . . . . . . 11
147134, 141ltaddrpd 10708 . . . . . . . . . . 11
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 9259 . . . . . . . . . 10
149143, 148elrpd 10677 . . . . . . . . 9
15073adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
151134adantr 453 . . . . . . . . . . 11
152143adantr 453 . . . . . . . . . . 11
15382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
154 ssun1 3496 . . . . . . . . . . . . . 14
155 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
15651elrnmpt1 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15
157155, 49, 156sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14
158154, 157sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . 13
159 supxrub 10934 . . . . . . . . . . . . 13
160153, 158, 159syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
16143ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
162160, 161breqtrrd 4263 . . . . . . . . . . 11
163147adantr 453 . . . . . . . . . . 11
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 9259 . . . . . . . . . 10
165164ralrimiva 2795 . . . . . . . . 9
16624, 44rrndstprj2 26578 . . . . . . . . 9
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1193 . . . . . . . 8
168134recnd 9145 . . . . . . . . . 10
169142recnd 9145 . . . . . . . . . 10
170110adantr 453 . . . . . . . . . . 11
171170recnd 9145 . . . . . . . . . 10
172168, 169, 171adddird 9144 . . . . . . . . 9
173168, 171mulcomd 9140 . . . . . . . . . 10
174126recnd 9145 . . . . . . . . . . 11
175140rpne0d 10684 . . . . . . . . . . 11
176174, 171, 175divcan1d 9822 . . . . . . . . . 10
177173, 176oveq12d 6128 . . . . . . . . 9
178172, 177eqtrd 2474 . . . . . . . 8
179167, 178breqtrd 4261 . . . . . . 7
180122, 127, 179ltled 9252 . . . . . 6
181180anassrs 631 . . . . 5
182181ralrimiva 2795 . . . 4
183 alrple 10823 . . . . . 6
18484, 123, 183syl2anc 644 . . . . 5
185184adantr 453 . . . 4
186182, 185mpbird 225 . . 3
187121, 186pm2.61dane 2688 . 2
18889, 187jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  cvv 2962   cdif 3303   cun 3304   wss 3306  c0 3613  csn 3838   class class class wbr 4237   cmpt 4291   cxp 4905   crn 4908   cres 4909   ccom 4911   wfn 5478  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmap 7047  cfn 7138  csup 7474  cc 9019  cr 9020  cc0 9021   caddc 9024   cmul 9026  cxr 9150   clt 9151   cle 9152   cmin 9322   cdiv 9708  cn 10031  cn0 10252  crp 10643  chash 11649  csqr 12069  cabs 12070  cbs 13500   ↾s cress 13501  Scalarcsca 13563  cds 13569  scprds 13700   s cpws 13701  cme 16718  ℂfldccnfld 16734  crrn 26572 This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-pws 13704  df-xmet 16726  df-met 16727  df-cnfld 16735  df-rrn 26573
 Copyright terms: Public domain W3C validator