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Theorem rrnequiv 26442
Description: The supremum metric on  RR ^ I is equivalent to the  Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
rrnequiv.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
rrnequiv.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnequiv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
rrnequiv  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables  k 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  Y
)
2 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  (flds  RR )  e.  _V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
6 reex 9045 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
7 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
8 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar ` fld )
97, 8resssca 13567 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  e.  _V  ->  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR )
) )
106, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR ) )
115, 10pwsval 13671 . . . . . . . 8  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
122, 4, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld )
X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
1312fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( dist `  Y )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
141, 13syl5eq 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  =  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
1514oveqd 6065 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  ( F ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G ) )
16 fconstmpt 4888 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { (flds  RR ) } )  =  ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) )
1716oveq2i 6059 . . . . 5  |-  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) )  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) ) )
18 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
19 fvex 5709 . . . . . 6  |-  (Scalar ` fld )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
(Scalar ` fld )  e.  _V )
212a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (flds  RR )  e.  _V )
2221ralrimiva 2757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
(flds  RR )  e.  _V )
23 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
25 ax-resscn 9011 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
26 cnfldbas 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
277, 26ressbas2 13483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) ) )
2825, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) )
295, 28pwsbas 13672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
302, 4, 29sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
3112fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3230, 31eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3324, 32syl5eq 2456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  X  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3423, 33eleqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
35 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
3635, 33eleqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
37 cnfldds 16676 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
387, 37ressds 13604 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR )
) )
396, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR ) )
4039reseq1i 5109 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist `  (flds  RR )
)  |`  ( RR  X.  RR ) )
41 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 13670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G )  =  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
4315, 42eqtrd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
44 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4524, 44rrndstprj1 26437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  k  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4645an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
473, 46sylanl1 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4847ralrimiva 2757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
49 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
5049rgenw 2741 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
51 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )
52 breq1 4183 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5351, 52ralrnmpt 5845 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V  ->  ( A. z  e. 
ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5450, 53ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5548, 54sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5624rrnmet 26436 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
574, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
58 metge0 18336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
5957, 23, 35, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
60 elsni 3806 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
6160breq1d 4190 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  0  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6259, 61syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( z  e.  {
0 }  ->  z  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
6362ralrimiv 2756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
64 ralunb 3496 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  A. z  e. 
{ 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6555, 63, 64sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) )
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 13668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  RR )
6766r19.21bi 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 13668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( G `  k
)  e.  RR )
6968r19.21bi 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7044remet 18782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
71 metcl 18323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7270, 71mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7367, 69, 72syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
7473, 51fmptd 5860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) : I --> RR )
75 frn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
77 ressxr 9093 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7876, 77syl6ss 3328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR* )
79 0xr 9095 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR* )
8180snssd 3911 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
8278, 81unssd 3491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
83 metcl 18323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
8457, 23, 35, 83syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR )
8577, 84sseldi 3314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR* )
86 supxrleub 10869 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( F ( Rn `  I
) G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8865, 87mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
8943, 88eqbrtrd 4200 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
90 rzal 3697 . . . . . . 7  |-  ( I  =  (/)  ->  A. k  e.  I  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
9123, 24syl6eleq 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
92 elmapi 7005 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
93 ffn 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> RR  ->  F  Fn  I )
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  Fn  I )
9535, 24syl6eleq 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
96 elmapi 7005 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
97 ffn 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( G : I --> RR  ->  G  Fn  I )
9895, 96, 973syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  Fn  I )
99 eqfnfv 5794 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  I  /\  G  Fn  I )  ->  ( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10190, 100syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  =  (/)  ->  F  =  G ) )
102101imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  F  =  G )
103102oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  =  ( G ( Rn
`  I ) G ) )
104 met0 18334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  G  e.  X )  ->  ( G ( Rn `  I ) G )  =  0 )
10557, 35, 104syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  =  0 )
106 hashcl 11602 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
1074, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  NN0 )
108107nn0red 10239 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  RR )
109107nn0ge0d 10241 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( # `  I
) )
110108, 109resqrcld 12183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR )
1115, 1, 24repwsmet 26441 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1124, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
113 metcl 18323 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  e.  RR )
114112, 23, 35, 113syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  e.  RR )
115108, 109sqrge0d 12186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( # `  I
) ) )
116 metge0 18336 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
117112, 23, 35, 116syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F D G ) )
118110, 114, 115, 117mulge0d 9567 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
120119adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( G
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
121103, 120eqbrtrd 4200 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
12284adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
123110, 114remulcld 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
124123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
125 rpre 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
126125ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
127124, 126readdcld 9079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r )  e.  RR )
1284adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
129 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  =/=  (/) )
130 eldifsn 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
131128, 129, 130sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/)
} ) )
13223adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  F  e.  X )
13335adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  X )
134114adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  RR )
135 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
136 hashnncl 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
137128, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
138129, 137mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
139138nnrpd 10611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
140139rpsqrcld 12177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
141135, 140rpdivcld 10629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
142141rpred 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR )
143134, 142readdcld 9079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR )
144 0re 9055 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  e.  RR )
146117adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
147134, 141ltaddrpd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  < 
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 9192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
149143, 148elrpd 10610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR+ )
15073adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
151134adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  e.  RR )
152143adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR )
15382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
154 ssun1 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  C_  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } )
155 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
15651elrnmpt1 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  I  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  _V )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
157155, 49, 156sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
158154, 157sseldi 3314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
159 supxrub 10867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
160153, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
16143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
162160, 161breqtrrd 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F D G ) )
163147adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  <  ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 9192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164ralrimiva 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
16624, 44rrndstprj2 26438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
168134recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  CC )
169142recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  CC )
170110adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR )
171170recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  CC )
172168, 169, 171adddird 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173168, 171mulcomd 9073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
174126recnd 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
175140rpne0d 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  =/=  0
)
176174, 171, 175divcan1d 9755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  r )
177173, 176oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
178172, 177eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
179167, 178breqtrd 4204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
180122, 127, 179ltled 9185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
181180anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  I  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
182181ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
183 alrple 10756 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )  ->  (
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
18484, 123, 183syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
185184adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
186182, 185mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
187121, 186pm2.61dane 2653 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
18889, 187jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234    X. cxp 4843   ran crn 4846    |` cres 4847    o. ccom 4849    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   supcsup 7411   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954    + caddc 8957    x. cmul 8959   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   NN0cn0 10185   RR+crp 10576   #chash 11581   sqrcsqr 12001   abscabs 12002   Basecbs 13432   ↾s cress 13433  Scalarcsca 13495   distcds 13501   X_scprds 13632    ^s cpws 13633   Metcme 16650  ℂfldccnfld 16666   Rncrrn 26432
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-prds 13634  df-pws 13636  df-xmet 16658  df-met 16659  df-cnfld 16667  df-rrn 26433
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