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Theorem rrnequiv 26582
Description: The supremum metric on  RR ^ I is equivalent to the  Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
rrnequiv.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
rrnequiv.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnequiv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
rrnequiv  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables  k 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  Y
)
2 ovex 6135 . . . . . . . 8  |-  (flds  RR )  e.  _V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
43adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
6 reex 9112 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
7 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
8 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar ` fld )
97, 8resssca 13635 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  e.  _V  ->  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR )
) )
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR ) )
115, 10pwsval 13739 . . . . . . . 8  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
122, 4, 11sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld )
X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
1312fveq2d 5761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( dist `  Y )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
141, 13syl5eq 2486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  =  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
1514oveqd 6127 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  ( F ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G ) )
16 fconstmpt 4950 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { (flds  RR ) } )  =  ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) )
1716oveq2i 6121 . . . . 5  |-  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) )  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) ) )
18 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
19 fvex 5771 . . . . . 6  |-  (Scalar ` fld )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
(Scalar ` fld )  e.  _V )
212a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (flds  RR )  e.  _V )
2221ralrimiva 2795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
(flds  RR )  e.  _V )
23 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
25 ax-resscn 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
26 cnfldbas 16738 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
277, 26ressbas2 13551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) ) )
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) )
295, 28pwsbas 13740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
302, 4, 29sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
3112fveq2d 5761 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3230, 31eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3324, 32syl5eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  X  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3423, 33eleqtrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
35 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
3635, 33eleqtrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
37 cnfldds 16744 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
387, 37ressds 13672 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR )
) )
396, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR ) )
4039reseq1i 5171 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist `  (flds  RR )
)  |`  ( RR  X.  RR ) )
41 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 13738 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G )  =  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
4315, 42eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
44 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4524, 44rrndstprj1 26577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  k  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4645an32s 781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
473, 46sylanl1 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4847ralrimiva 2795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
49 ovex 6135 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
5049rgenw 2779 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
51 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )
52 breq1 4240 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5351, 52ralrnmpt 5907 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V  ->  ( A. z  e. 
ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5450, 53ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5548, 54sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5624rrnmet 26576 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
574, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
58 metge0 18406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
5957, 23, 35, 58syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
60 elsni 3862 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
6160breq1d 4247 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  0  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6259, 61syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( z  e.  {
0 }  ->  z  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
6362ralrimiv 2794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
64 ralunb 3514 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  A. z  e. 
{ 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6555, 63, 64sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) )
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 13736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  RR )
6766r19.21bi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 13736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( G `  k
)  e.  RR )
6968r19.21bi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7044remet 18852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
71 metcl 18393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7270, 71mp3an1 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7367, 69, 72syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
7473, 51fmptd 5922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) : I --> RR )
75 frn 5626 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
77 ressxr 9160 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7876, 77syl6ss 3346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR* )
79 0xr 9162 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR* )
8180snssd 3967 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
8278, 81unssd 3509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
83 metcl 18393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
8457, 23, 35, 83syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR )
8577, 84sseldi 3332 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR* )
86 supxrleub 10936 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( F ( Rn `  I
) G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8865, 87mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
8943, 88eqbrtrd 4257 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
90 rzal 3753 . . . . . . 7  |-  ( I  =  (/)  ->  A. k  e.  I  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
9123, 24syl6eleq 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
92 elmapi 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
93 ffn 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> RR  ->  F  Fn  I )
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  Fn  I )
9535, 24syl6eleq 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
96 elmapi 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
97 ffn 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( G : I --> RR  ->  G  Fn  I )
9895, 96, 973syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  Fn  I )
99 eqfnfv 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  I  /\  G  Fn  I )  ->  ( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10190, 100syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  =  (/)  ->  F  =  G ) )
102101imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  F  =  G )
103102oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  =  ( G ( Rn
`  I ) G ) )
104 met0 18404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  G  e.  X )  ->  ( G ( Rn `  I ) G )  =  0 )
10557, 35, 104syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  =  0 )
106 hashcl 11670 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
1074, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  NN0 )
108107nn0red 10306 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  RR )
109107nn0ge0d 10308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( # `  I
) )
110108, 109resqrcld 12251 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR )
1115, 1, 24repwsmet 26581 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1124, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
113 metcl 18393 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  e.  RR )
114112, 23, 35, 113syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  e.  RR )
115108, 109sqrge0d 12254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( # `  I
) ) )
116 metge0 18406 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
117112, 23, 35, 116syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F D G ) )
118110, 114, 115, 117mulge0d 9634 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
120119adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( G
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
121103, 120eqbrtrd 4257 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
12284adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
123110, 114remulcld 9147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
124123adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
125 rpre 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
126125ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
127124, 126readdcld 9146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r )  e.  RR )
1284adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
129 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  =/=  (/) )
130 eldifsn 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
131128, 129, 130sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/)
} ) )
13223adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  F  e.  X )
13335adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  X )
134114adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  RR )
135 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
136 hashnncl 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
137128, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
138129, 137mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
139138nnrpd 10678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
140139rpsqrcld 12245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
141135, 140rpdivcld 10696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
142141rpred 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR )
143134, 142readdcld 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR )
144 0re 9122 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  e.  RR )
146117adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
147134, 141ltaddrpd 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  < 
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 9259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
149143, 148elrpd 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR+ )
15073adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
151134adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  e.  RR )
152143adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR )
15382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
154 ssun1 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  C_  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } )
155 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
15651elrnmpt1 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  I  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  _V )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
157155, 49, 156sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
158154, 157sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
159 supxrub 10934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
160153, 158, 159syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
16143ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
162160, 161breqtrrd 4263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F D G ) )
163147adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  <  ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 9259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164ralrimiva 2795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
16624, 44rrndstprj2 26578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
168134recnd 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  CC )
169142recnd 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  CC )
170110adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR )
171170recnd 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  CC )
172168, 169, 171adddird 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173168, 171mulcomd 9140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
174126recnd 9145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
175140rpne0d 10684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  =/=  0
)
176174, 171, 175divcan1d 9822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  r )
177173, 176oveq12d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
178172, 177eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
179167, 178breqtrd 4261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
180122, 127, 179ltled 9252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
181180anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  I  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
182181ralrimiva 2795 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
183 alrple 10823 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )  ->  (
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
18484, 123, 183syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
185184adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
186182, 185mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
187121, 186pm2.61dane 2688 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
18889, 187jca 520 1  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    u. cun 3304    C_ wss 3306   (/)c0 3613   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291    X. cxp 4905   ran crn 4908    |` cres 4909    o. ccom 4911    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   Fincfn 7138   supcsup 7474   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021    + caddc 9024    x. cmul 9026   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322    / cdiv 9708   NNcn 10031   NN0cn0 10252   RR+crp 10643   #chash 11649   sqrcsqr 12069   abscabs 12070   Basecbs 13500   ↾s cress 13501  Scalarcsca 13563   distcds 13569   X_scprds 13700    ^s cpws 13701   Metcme 16718  ℂfldccnfld 16734   Rncrrn 26572
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-pws 13704  df-xmet 16726  df-met 16727  df-cnfld 16735  df-rrn 26573
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