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Theorem rrnequiv 26559
Description: The supremum metric on  RR ^ I is equivalent to the  Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
rrnequiv.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
rrnequiv.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnequiv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
rrnequiv  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables  k 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  Y
)
2 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  (flds  RR )  e.  _V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  I  e.  Fin )
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( (flds  RR )  ^s  I )
6 reex 8828 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar ` fld )
97, 8resssca 13283 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  e.  _V  ->  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR )
) )
106, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar ` fld )  =  (Scalar `  (flds  RR ) )
115, 10pwsval 13385 . . . . . . . 8  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
122, 4, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  Y  =  ( (Scalar ` fld )
X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
1312fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( dist `  Y )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
141, 13syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  =  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
1514oveqd 5875 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  ( F ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G ) )
16 fconstmpt 4732 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { (flds  RR ) } )  =  ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) )
1716oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) )  =  ( (Scalar ` fld ) X_s ( k  e.  I  |->  (flds  RR ) ) )
18 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
19 fvex 5539 . . . . . 6  |-  (Scalar ` fld )  e.  _V
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
(Scalar ` fld )  e.  _V )
212a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (flds  RR )  e.  _V )
2221ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
(flds  RR )  e.  _V )
23 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  X )
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
25 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
26 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
277, 26ressbas2 13199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) ) )
2825, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  ( Base `  (flds  RR ) )
295, 28pwsbas 13386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (flds  RR )  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
302, 4, 29sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
3112fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3230, 31eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( RR  ^m  I
)  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3324, 32syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  X  =  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
3423, 33eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
35 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  X )
3635, 33eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) )
37 cnfldds 16389 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
387, 37ressds 13318 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( abs  o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR )
) )
396, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist `  (flds  RR ) )
4039reseq1i 4951 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist `  (flds  RR )
)  |`  ( RR  X.  RR ) )
41 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )  =  ( dist `  (
(Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) )
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 13384 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( dist `  ( (Scalar ` fld ) X_s ( I  X.  {
(flds  RR ) } ) ) ) G )  =  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
4315, 42eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
44 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
4524, 44rrndstprj1 26554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  k  e.  I )  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4645an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
473, 46sylanl1 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
4847ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
49 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
5049rgenw 2610 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V
51 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )
52 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5351, 52ralrnmpt 5669 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  I  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  _V  ->  ( A. z  e. 
ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
5450, 53ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5548, 54sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
5624rrnmet 26553 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
574, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X ) )
58 metge0 17910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
5957, 23, 35, 58syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
60 elsni 3664 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
6160breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  ( z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  0  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6259, 61syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( z  e.  {
0 }  ->  z  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
6362ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) )
64 ralunb 3356 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G )  <->  ( A. z  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) z  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  A. z  e. 
{ 0 } z  <_  ( F ( Rn `  I ) G ) ) )
6555, 63, 64sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) )
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  RR )
6766r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  A. k  e.  I 
( G `  k
)  e.  RR )
6968r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
7044remet 18296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
71 metcl 17897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7270, 71mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( G `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
7367, 69, 72syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  k  e.  I )  ->  (
( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  RR )
7473, 51fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) ) : I --> RR )
75 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
7674, 75syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR )
77 ressxr 8876 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
7876, 77syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  C_  RR* )
79 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR* )
8180snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
8278, 81unssd 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
83 metcl 17897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
8457, 23, 35, 83syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR )
8577, 84sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR* )
86 supxrleub 10645 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( F ( Rn `  I
) G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  <->  A. z  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_ 
( F ( Rn
`  I ) G ) ) )
8865, 87mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  sup ( ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( F ( Rn
`  I ) G ) )
8943, 88eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  <_  ( F
( Rn `  I
) G ) )
90 rzal 3555 . . . . . . 7  |-  ( I  =  (/)  ->  A. k  e.  I  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
9123, 24syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  e.  ( RR  ^m  I ) )
92 elmapi 6792 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( RR  ^m  I )  ->  F : I --> RR )
93 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> RR  ->  F  Fn  I )
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  F  Fn  I )
9535, 24syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  e.  ( RR  ^m  I ) )
96 elmapi 6792 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( RR  ^m  I )  ->  G : I --> RR )
97 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( G : I --> RR  ->  G  Fn  I )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  G  Fn  I )
99 eqfnfv 5622 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  I  /\  G  Fn  I )  ->  ( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10094, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F  =  G  <->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  =  ( G `
 k ) ) )
10190, 100syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( I  =  (/)  ->  F  =  G ) )
102101imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  F  =  G )
103102oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  =  ( G ( Rn
`  I ) G ) )
104 met0 17908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  G  e.  X )  ->  ( G ( Rn `  I ) G )  =  0 )
10557, 35, 104syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  =  0 )
106 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( # `
 I )  e. 
NN0 )
1074, 106syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  NN0 )
108107nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( # `  I )  e.  RR )
109107nn0ge0d 10021 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( # `  I
) )
110108, 109resqrcld 11900 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( sqr `  ( # `
 I ) )  e.  RR )
1115, 1, 24repwsmet 26558 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1124, 111syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
113 metcl 17897 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F D G )  e.  RR )
114112, 23, 35, 113syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F D G )  e.  RR )
115108, 109sqrge0d 11903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( # `  I
) ) )
116 metge0 17910 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  0  <_  ( F D G ) )
117112, 23, 35, 116syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F D G ) )
118110, 114, 115, 117mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( G ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
120119adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( G
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
121103, 120eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
12284adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  e.  RR )
123110, 114remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
124123adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )
125 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
126125ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR )
127124, 126readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r )  e.  RR )
1284adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
129 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  =/=  (/) )
130 eldifsn 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( Fin  \  { (/)
} )  <->  ( I  e.  Fin  /\  I  =/=  (/) ) )
131128, 129, 130sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  ( Fin  \  { (/)
} ) )
13223adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  F  e.  X )
13335adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  X )
134114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  RR )
135 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  RR+ )
136 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
137128, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( # `  I )  e.  NN  <->  I  =/=  (/) ) )
138129, 137mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  NN )
139138nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( # `
 I )  e.  RR+ )
140139rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR+ )
141135, 140rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR+ )
142141rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  RR )
143134, 142readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR )
144 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
145144a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  e.  RR )
146117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <_  ( F D G ) )
147134, 141ltaddrpd 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  < 
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
148145, 134, 143, 146, 147lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  0  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
149143, 148elrpd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  e.  RR+ )
15073adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  RR )
151134adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  e.  RR )
152143adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR )
15382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR* )
154 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  C_  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } )
155 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
15651elrnmpt1 4928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  I  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  _V )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
157155, 49, 156sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) ) )
158154, 157sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  e.  ( ran  (
k  e.  I  |->  ( ( F `  k
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
159 supxrub 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR*  /\  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  e.  ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `
 k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
160153, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  sup ( ( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
16143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  =  sup (
( ran  ( k  e.  I  |->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
162160, 161breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <_  ( F D G ) )
163147adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( F D G )  <  ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
164150, 151, 152, 162, 163lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  (
I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( F `  k ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
165164ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) )
16624, 44rrndstprj2 26555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  ( Fin  \  { (/) } )  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  I  ( ( F `  k )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( G `  k
) )  <  (
( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) ) ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )
167131, 132, 133, 149, 165, 166syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( F D G )  +  ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )
168134recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F D G )  e.  CC )
169142recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  e.  CC )
170110adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  RR )
171170recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  e.  CC )
172168, 169, 171adddird 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) ) )
173168, 171mulcomd 8856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  =  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
174126recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  r  e.  CC )
175140rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( sqr `  ( # `  I
) )  =/=  0
)
176174, 171, 175divcan1d 9537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  r )
177173, 176oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) )  +  ( ( r  / 
( sqr `  ( # `
 I ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
178172, 177eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  (
( ( F D G )  +  ( r  /  ( sqr `  ( # `  I
) ) ) )  x.  ( sqr `  ( # `
 I ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
179167, 178breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
180122, 127, 179ltled 8967 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  ( I  =/=  (/)  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
181180anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X
) )  /\  I  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
182181ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) )
183 alrple 10533 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( Rn
`  I ) G )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  e.  RR )  ->  (
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
18484, 123, 183syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
185184adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) )  <->  A. r  e.  RR+  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  ( ( ( sqr `  ( # `  I ) )  x.  ( F D G ) )  +  r ) ) )
186182, 185mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X )
)  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( F
( Rn `  I
) G )  <_ 
( ( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) )
187121, 186pm2.61dane 2524 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( F ( Rn
`  I ) G )  <_  ( ( sqr `  ( # `  I
) )  x.  ( F D G ) ) )
18889, 187jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  X  /\  G  e.  X ) )  -> 
( ( F D G )  <_  ( F ( Rn `  I ) G )  /\  ( F ( Rn `  I ) G )  <_  (
( sqr `  ( # `
 I ) )  x.  ( F D G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   #chash 11337   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  Scalarcsca 13211   distcds 13217   X_scprds 13346    ^s cpws 13347   Metcme 16370  ℂfldccnfld 16377   Rncrrn 26549
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  26560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-xmet 16373  df-met 16374  df-cnfld 16378  df-rrn 26550
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