Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnheibor Structured version   Unicode version

Theorem rrnheibor 26546
Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnheibor.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnheibor.2  |-  M  =  ( ( Rn `  I )  |`  ( Y  X.  Y ) )
rrnheibor.3  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
rrnheibor.4  |-  U  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrnheibor  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U )  /\  M  e.  ( Bnd `  Y
) ) ) )

Proof of Theorem rrnheibor
StepHypRef Expression
1 rrnheibor.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnmet 26538 . . . . 5  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
3 rrnheibor.2 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( Rn `  I )  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 metres2 18393 . . . . . 6  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Rn `  I
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
53, 4syl5eqel 2520 . . . . 5  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  M  e.  ( Met `  Y
) )
62, 5sylan 458 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  M  e.  ( Met `  Y ) )
76biantrurd 495 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( M  e.  ( Met `  Y )  /\  T  e.  Comp ) ) )
8 rrnheibor.3 . . . 4  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
98heibor 26530 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  Y )  /\  T  e.  Comp )  <->  ( M  e.  ( CMet `  Y
)  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
107, 9syl6bb 253 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( M  e.  ( CMet `  Y )  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
) ) )
113eleq1i 2499 . . . 4  |-  ( M  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( Rn
`  I )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
121rrncms 26542 . . . . . 6  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( CMet `  X ) )
14 rrnheibor.4 . . . . . 6  |-  U  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
1514cmetss 19267 . . . . 5  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
( Rn `  I
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  U ) ) )
1613, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( Rn
`  I )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )  <->  Y  e.  ( Clsd `  U
) ) )
1711, 16syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( M  e.  (
CMet `  Y )  <->  Y  e.  ( Clsd `  U
) ) )
181, 3rrntotbnd 26545 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( M  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
2017, 19anbi12d 692 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( M  e.  ( CMet `  Y
)  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
)  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U
)  /\  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) ) )
2110, 20bitrd 245 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U )  /\  M  e.  ( Bnd `  Y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320    X. cxp 4876    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   Clsdccld 17080   Compccmp 17449   CMetcms 19207   TotBndctotbnd 26475   Bndcbnd 26476   Rncrrn 26534
This theorem is referenced by:  reheibor  26548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-gz 13298  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-prds 13671  df-pws 13673  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lm 17293  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-totbnd 26477  df-bnd 26488  df-rrn 26535
  Copyright terms: Public domain W3C validator