Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnheibor Unicode version

Theorem rrnheibor 25709
Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnheibor.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
rrnheibor.2  |-  M  =  ( ( Rn `  I )  |`  ( Y  X.  Y ) )
rrnheibor.3  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
rrnheibor.4  |-  U  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
Assertion
Ref Expression
rrnheibor  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U )  /\  M  e.  ( Bnd `  Y
) ) ) )

Proof of Theorem rrnheibor
StepHypRef Expression
1 rrnheibor.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnmet 25701 . . . . 5  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
3 rrnheibor.2 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( Rn `  I )  |`  ( Y  X.  Y ) )
4 metres2 17979 . . . . . 6  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Rn `  I
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
53, 4syl5eqel 2400 . . . . 5  |-  ( ( ( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  M  e.  ( Met `  Y
) )
62, 5sylan 457 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  M  e.  ( Met `  Y ) )
76biantrurd 494 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( M  e.  ( Met `  Y )  /\  T  e.  Comp ) ) )
8 rrnheibor.3 . . . 4  |-  T  =  ( MetOpen `  M )
98heibor 25693 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  Y )  /\  T  e.  Comp )  <->  ( M  e.  ( CMet `  Y
)  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
107, 9syl6bb 252 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( M  e.  ( CMet `  Y )  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
) ) )
113eleq1i 2379 . . . 4  |-  ( M  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( Rn
`  I )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
121rrncms 25705 . . . . . 6  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )
1312adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( Rn `  I
)  e.  ( CMet `  X ) )
14 rrnheibor.4 . . . . . 6  |-  U  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
1514cmetss 18793 . . . . 5  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
( Rn `  I
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  U ) ) )
1613, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( Rn
`  I )  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )  <->  Y  e.  ( Clsd `  U
) ) )
1711, 16syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( M  e.  (
CMet `  Y )  <->  Y  e.  ( Clsd `  U
) ) )
181, 3rrntotbnd 25708 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
1918adantr 451 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( M  e.  (
TotBnd `  Y )  <->  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
2017, 19anbi12d 691 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( M  e.  ( CMet `  Y
)  /\  M  e.  ( TotBnd `  Y )
)  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U
)  /\  M  e.  ( Bnd `  Y ) ) ) )
2110, 20bitrd 244 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  -> 
( T  e.  Comp  <->  ( Y  e.  ( Clsd `  U )  /\  M  e.  ( Bnd `  Y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   Fincfn 6906   RRcr 8781   Metcme 16419   MetOpencmopn 16423   Clsdccld 16809   Compccmp 17169   CMetcms 18733   TotBndctotbnd 25638   Bndcbnd 25639   Rncrrn 25697
This theorem is referenced by:  reheibor  25711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cc 8106  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-gz 13024  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-prds 13397  df-pws 13399  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lm 17015  df-haus 17099  df-cmp 17170  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-cfil 18734  df-cau 18735  df-cmet 18736  df-totbnd 25640  df-bnd 25651  df-rrn 25698
  Copyright terms: Public domain W3C validator