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Theorem rrnmet 26656
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmet  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  ( RR  ^m  I
) )
5 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  I )  ->  x : I --> RR )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x : I --> RR  /\  k  e.  I )  ->  ( x `  k
)  e.  RR )
86, 7sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
9 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
109, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  ( RR  ^m  I
) )
11 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  I )  ->  y : I --> RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : I --> RR  /\  k  e.  I )  ->  ( y `  k
)  e.  RR )
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
158, 14resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1615resqcld 11287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
171, 16fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1815sqge0d 11288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
191, 16, 18fsumge0 12269 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
2017, 19resqrcld 11916 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2120ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
22 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
2322fmpt2 6207 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2421, 23sylib 188 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
253rrnval 26654 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
2625feq1d 5395 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
) : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2724, 26mpbird 223 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR )
28 sqr00 11765 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
2917, 19, 28syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
301, 16, 18fsum00 12272 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  I  ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3129, 30bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
3215recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
33 sqeq0 11184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
358recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
3614recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
37 subeq0 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( y `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( y `  k ) )  =  0  <->  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3934, 38bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4039ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4131, 40bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
423rrnmval 26655 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
43423expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
4443eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
45 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
466, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
47 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
4812, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
49 eqfnfv 5638 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
5141, 44, 503bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
52 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
538adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
54 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5554, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( RR  ^m  I
) )
56 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR  ^m  I )  ->  z : I --> RR )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
58 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z : I --> RR  /\  k  e.  I )  ->  ( z `  k
)  e.  RR )
5957, 58sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
6053, 59resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
6114adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
6259, 61resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
6352, 60, 62trirn 26566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
6435adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
6559recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
6636adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
6764, 65, 66npncand 9197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6968sumeq2dv 12192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
7069fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
71 sqsubswap 11181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
7264, 65, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
7372sumeq2dv 12192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
7473fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
7574oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7663, 70, 753brtr3d 4068 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7743adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
783rrnmval 26655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
79783adant3r 1179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) ) )
803rrnmval 26655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
81803adant3l 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
8279, 81oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
83823expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
8483an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8576, 77, 843brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) )
8685ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x
( Rn `  I
) y )  <_ 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) ) )
8751, 86jca 518 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) )
8887ralrimivva 2648 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) ) )
89 ovex 5899 . . . 4  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
903, 89eqeltri 2366 . . 3  |-  X  e. 
_V
91 ismet 17904 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) ) )
9290, 91ax-mp 8 . 2  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( Rn
`  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) )
9327, 88, 92sylanbrc 645 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053   2c2 9811   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   sum_csu 12174   Metcme 16386   Rncrrn 26652
This theorem is referenced by:  rrncmslem  26659  rrncms  26660  rrnequiv  26662  rrntotbnd  26663  rrnheibor  26664  ismrer1  26665  reheibor  26666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-met 16390  df-rrn 26653
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