Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Unicode version

Theorem rrnmval 25700
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmval  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    k, X    k, F

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnval 25699 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
323ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( Rn `  I
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
4 fveq1 5562 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  k )  =  ( F `  k ) )
5 fveq1 5562 . . . . . . 7  |-  ( y  =  G  ->  (
y `  k )  =  ( G `  k ) )
64, 5oveqan12d 5919 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
76oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
87sumeq2sdv 12224 . . . 4  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  -> 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
98fveq2d 5567 . . 3  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
109adantl 452 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( x  =  F  /\  y  =  G ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11 simp2 956 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
12 simp3 957 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
13 fvex 5577 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
1413a1i 10 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
153, 10, 11, 12, 14ovmpt2d 6017 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902    ^m cmap 6815   Fincfn 6906   RRcr 8781    - cmin 9082   2c2 9840   ^cexp 11151   sqrcsqr 11765   sum_csu 12205   Rncrrn 25697
This theorem is referenced by:  rrnmet  25701  rrndstprj1  25702  rrndstprj2  25703  rrncmslem  25704  ismrer1  25710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-sum 12206  df-rrn 25698
  Copyright terms: Public domain W3C validator