Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Unicode version

Theorem rrnmval 26537
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmval  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    k, G    k, I    k, X    k, F

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
21rrnval 26536 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
323ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( Rn `  I
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
4 fveq1 5727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  k )  =  ( F `  k ) )
5 fveq1 5727 . . . . . . 7  |-  ( y  =  G  ->  (
y `  k )  =  ( G `  k ) )
64, 5oveqan12d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )
76oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
87sumeq2sdv 12498 . . . 4  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  -> 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) )
98fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( x  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  /\  ( x  =  F  /\  y  =  G ) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11 simp2 958 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  F  e.  X )
12 simp3 959 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  G  e.  X )
13 fvex 5742 . . 3  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ^ 2 ) )  e.  _V )
153, 10, 11, 12, 14ovmpt2d 6201 1  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  F  e.  X  /\  G  e.  X )  ->  ( F ( Rn
`  I ) G )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989    - cmin 9291   2c2 10049   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   sum_csu 12479   Rncrrn 26534
This theorem is referenced by:  rrnmet  26538  rrndstprj1  26539  rrndstprj2  26540  rrncmslem  26541  ismrer1  26547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-sum 12480  df-rrn 26535
  Copyright terms: Public domain W3C validator