Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrntotbnd Structured version   Unicode version

Theorem rrntotbnd 26545
 Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrntotbnd.1
rrntotbnd.2
Assertion
Ref Expression
rrntotbnd

Proof of Theorem rrntotbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3 flds s flds s
2 eqid 2436 . . 3 flds s flds s
3 rrntotbnd.1 . . 3
41, 2, 3repwsmet 26543 . 2 flds s
53rrnmet 26538 . 2
6 hashcl 11639 . . . 4
7 nn0re 10230 . . . . 5
8 nn0ge0 10247 . . . . 5
97, 8resqrcld 12220 . . . 4
106, 9syl 16 . . 3
117, 8sqrge0d 12223 . . . 4
126, 11syl 16 . . 3
1310, 12ge0p1rpd 10674 . 2
14 1rp 10616 . . 3
1514a1i 11 . 2
16 metcl 18362 . . . . 5
17163expb 1154 . . . 4
185, 17sylan 458 . . 3
1910adantr 452 . . . 4
204adantr 452 . . . . . 6 flds s
21 simprl 733 . . . . . 6
22 simprr 734 . . . . . 6
23 metcl 18362 . . . . . . 7 flds s flds s
24 metge0 18375 . . . . . . 7 flds s flds s
2523, 24jca 519 . . . . . 6 flds s flds s flds s
2620, 21, 22, 25syl3anc 1184 . . . . 5 flds s flds s
2726simpld 446 . . . 4 flds s
2819, 27remulcld 9116 . . 3 flds s
29 peano2re 9239 . . . . . 6
3010, 29syl 16 . . . . 5
3130adantr 452 . . . 4
3231, 27remulcld 9116 . . 3 flds s
33 id 20 . . . . 5
341, 2, 3, 33rrnequiv 26544 . . . 4 flds s flds s
3534simprd 450 . . 3 flds s
3619lep1d 9942 . . . 4
37 lemul1a 9864 . . . 4 flds s flds s flds s flds s
3819, 31, 26, 36, 37syl31anc 1187 . . 3 flds s flds s
3918, 28, 32, 35, 38letrd 9227 . 2 flds s
4034simpld 446 . . 3 flds s
4118recnd 9114 . . . 4
4241mulid2d 9106 . . 3
4340, 42breqtrrd 4238 . 2 flds s
44 eqid 2436 . 2 flds s flds s
45 rrntotbnd.2 . 2
46 ax-resscn 9047 . . 3
471, 44cnpwstotbnd 26506 . . 3 flds s flds s
4846, 47mpan 652 . 2 flds s flds s
494, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48equivbnd2 26501 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320   class class class wbr 4212   cxp 4876   cres 4880  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cle 9121  cn0 10221  crp 10612  chash 11618  csqr 12038   ↾s cress 13470  cds 13538   s cpws 13670  cme 16687  ℂfldccnfld 16703  ctotbnd 26475  cbnd 26476  crrn 26534 This theorem is referenced by:  rrnheibor  26546 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-gz 13298  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-prds 13671  df-pws 13673  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-totbnd 26477  df-bnd 26488  df-rrn 26535
 Copyright terms: Public domain W3C validator