Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Unicode version

Theorem rrnval 26057
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnval  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, I    k, X, x, y

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  ( RR  ^m  I
) )
2 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
31, 2syl6eqr 2416 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  X )
4 sumeq1 12370 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
54fveq2d 5636 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
63, 3, 5mpt2eq123dv 6036 . 2  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  ( RR 
^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7 df-rrn 26056 . 2  |-  Rn  =  ( i  e.  Fin  |->  ( x  e.  ( RR  ^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8 fvrn0 5657 . . . . 5  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
98rgen2w 2696 . . . 4  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
10 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
1110fmpt2 6318 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
129, 11mpbi 199 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X
) --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
13 ovex 6006 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
142, 13eqeltri 2436 . . . 4  |-  X  e. 
_V
1514, 14xpex 4904 . . 3  |-  ( X  X.  X )  e. 
_V
16 cnex 8965 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
17 sqrf 12054 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
18 frn 5501 . . . . . 6  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1917, 18ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  sqr  C_  CC
2016, 19ssexi 4261 . . . 4  |-  ran  sqr  e.  _V
21 p0ex 4299 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2220, 21unex 4621 . . 3  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
23 fex2 5507 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } )  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )  e.  _V )
2412, 15, 22, 23mp3an 1278 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  e. 
_V
256, 7, 24fvmpt 5709 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873    u. cun 3236    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729    X. cxp 4790   ran crn 4793   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   CCcc 8882   RRcr 8883    - cmin 9184   2c2 9942   ^cexp 11269   sqrcsqr 11925   sum_csu 12366   Rncrrn 26055
This theorem is referenced by:  rrnmval  26058  rrnmet  26059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-sum 12367  df-rrn 26056
  Copyright terms: Public domain W3C validator