Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Unicode version

Theorem rrnval 26434
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnval  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, I    k, X, x, y

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  ( RR  ^m  I
) )
2 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
31, 2syl6eqr 2462 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  X )
4 sumeq1 12446 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
54fveq2d 5699 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
63, 3, 5mpt2eq123dv 6103 . 2  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  ( RR 
^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7 df-rrn 26433 . 2  |-  Rn  =  ( i  e.  Fin  |->  ( x  e.  ( RR  ^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8 fvrn0 5720 . . . . 5  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
98rgen2w 2742 . . . 4  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
10 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
1110fmpt2 6385 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
129, 11mpbi 200 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X
) --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
13 ovex 6073 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
142, 13eqeltri 2482 . . . 4  |-  X  e. 
_V
1514, 14xpex 4957 . . 3  |-  ( X  X.  X )  e. 
_V
16 cnex 9035 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
17 sqrf 12130 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
18 frn 5564 . . . . . 6  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1917, 18ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  sqr  C_  CC
2016, 19ssexi 4316 . . . 4  |-  ran  sqr  e.  _V
21 p0ex 4354 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2220, 21unex 4674 . . 3  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
23 fex2 5570 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } )  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )  e.  _V )
2412, 15, 22, 23mp3an 1279 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  e. 
_V
256, 7, 24fvmpt 5773 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782    X. cxp 4843   ran crn 4846   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   CCcc 8952   RRcr 8953    - cmin 9255   2c2 10013   ^cexp 11345   sqrcsqr 12001   sum_csu 12442   Rncrrn 26432
This theorem is referenced by:  rrnmval  26435  rrnmet  26436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-sum 12443  df-rrn 26433
  Copyright terms: Public domain W3C validator