Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Unicode version

Theorem rrnval 26551
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnval  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, I    k, X, x, y

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  ( RR  ^m  I
) )
2 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
31, 2syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  X )
4 sumeq1 12162 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
54fveq2d 5529 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
63, 3, 5mpt2eq123dv 5910 . 2  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  ( RR 
^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7 df-rrn 26550 . 2  |-  Rn  =  ( i  e.  Fin  |->  ( x  e.  ( RR  ^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8 fvrn0 5550 . . . . 5  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
98rgen2w 2611 . . . 4  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
1110fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
129, 11mpbi 199 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X
) --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
13 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
142, 13eqeltri 2353 . . . 4  |-  X  e. 
_V
1514, 14xpex 4801 . . 3  |-  ( X  X.  X )  e. 
_V
16 cnex 8818 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
17 sqrf 11847 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
18 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1917, 18ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  sqr  C_  CC
2016, 19ssexi 4159 . . . 4  |-  ran  sqr  e.  _V
21 p0ex 4197 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2220, 21unex 4518 . . 3  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
23 fex2 5401 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } )  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )  e.  _V )
2412, 15, 22, 23mp3an 1277 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  e. 
_V
256, 7, 24fvmpt 5602 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736    - cmin 9037   2c2 9795   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   sum_csu 12158   Rncrrn 26549
This theorem is referenced by:  rrnmval  26552  rrnmet  26553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-sum 12159  df-rrn 26550
  Copyright terms: Public domain W3C validator