Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Structured version   Unicode version

Theorem rrnval 26578
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnval  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, I    k, X, x, y

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6125 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  ( RR  ^m  I
) )
2 rrnval.1 . . . 4  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
31, 2syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( RR  ^m  i )  =  X )
4 sumeq1 12521 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
54fveq2d 5767 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
63, 3, 5mpt2eq123dv 6172 . 2  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  ( RR 
^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7 df-rrn 26577 . 2  |-  Rn  =  ( i  e.  Fin  |->  ( x  e.  ( RR  ^m  i ) ,  y  e.  ( RR 
^m  i )  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  i  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8 fvrn0 5784 . . . . 5  |-  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
98rgen2w 2781 . . . 4  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
1110fmpt2 6454 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  ( ran  sqr  u.  { (/) } )  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } ) )
129, 11mpbi 201 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X
) --> ( ran  sqr  u. 
{ (/) } )
13 ovex 6142 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
142, 13eqeltri 2513 . . . 4  |-  X  e. 
_V
1514, 14xpex 5025 . . 3  |-  ( X  X.  X )  e. 
_V
16 cnex 9109 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
17 sqrf 12205 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
18 frn 5632 . . . . . 6  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  ran 
sqr  C_  CC )
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  sqr  C_  CC
2016, 19ssexi 4383 . . . 4  |-  ran  sqr  e.  _V
21 p0ex 4421 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2220, 21unex 4742 . . 3  |-  ( ran 
sqr  u.  { (/) } )  e.  _V
23 fex2 5638 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> ( ran  sqr  u.  {
(/) } )  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V  /\  ( ran  sqr 
u.  { (/) } )  e.  _V )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )  e.  _V )
2412, 15, 22, 23mp3an 1280 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  e. 
_V
256, 7, 24fvmpt 5842 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   _Vcvv 2965    u. cun 3307    C_ wss 3309   (/)c0 3616   {csn 3843    X. cxp 4911   ran crn 4914   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    e. cmpt2 6119    ^m cmap 7054   Fincfn 7145   CCcc 9026   RRcr 9027    - cmin 9329   2c2 10087   ^cexp 11420   sqrcsqr 12076   sum_csu 12517   Rncrrn 26576
This theorem is referenced by:  rrnmval  26579  rrnmet  26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-sum 12518  df-rrn 26577
  Copyright terms: Public domain W3C validator