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Theorem rspsbc2VD 28947
Description: Virtual deduction proof of rspsbc2 28596. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2::  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  C  e.  D ).
3::  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x  e.  B A. y  e.  D ph ).
4:1,3,?: e13 28837  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  [. A  /  x ]. A. y  e.  D ph ).
5:1,4,?: e13 28837  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. y  e.  D [. A  /  x ]. ph ).
6:2,5,?: e23 28844  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ).
7:6:  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ).
8:7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) ).
qed:8:  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rspsbc2VD  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, D, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)    C( x, y)

Proof of Theorem rspsbc2VD
StepHypRef Expression
1 idn2 28690 . . . . 5  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  C  e.  D ).
2 idn1 28641 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
3 idn3 28692 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ).
4 rspsbc 3082 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph ) )
52, 3, 4e13 28837 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph ).
6 sbcralg 3078 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph  <->  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph )
)
76biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. A. y  e.  D  ph 
->  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph ) )
82, 5, 7e13 28837 . . . . 5  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph ).
9 rspsbc 3082 . . . . 5  |-  ( C  e.  D  ->  ( A. y  e.  D  [. A  /  x ]. ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) )
101, 8, 9e23 28844 . . . 4  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  [. C  / 
y ]. [. A  /  x ]. ph ).
1110in3 28686 . . 3  |-  (. A  e.  B ,. C  e.  D  ->.  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ).
1211in2 28682 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) ).
1312in1 28638 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  [. C  /  y ]. [. A  /  x ]. ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   A.wral 2556   [.wsbc 3004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-v 2803  df-sbc 3005  df-vd1 28637  df-vd2 28646  df-vd3 28658
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