MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspsn Structured version   Unicode version

Theorem rspsn 16317
Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rspsn.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspsn.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
rspsn  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Distinct variable groups:    x, R    x, G    x, B    x, K    x,  .||

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2437 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a ( .r `  R ) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  =  ( a ( .r `  R
) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
32rexbidv 2718 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G )  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
4 rlmlmod 16268 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
5 rlmsca2 16264 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
6 baseid 13503 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 rspsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
86, 7strfvi 13499 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
9 rlmbas 16259 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
107, 9eqtri 2455 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
11 rlmvsca 16265 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
12 rspsn.k . . . . . 6  |-  K  =  (RSpan `  R )
13 rspval 16258 . . . . . 6  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
1412, 13eqtri 2455 . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
155, 8, 10, 11, 14lspsnel 16071 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
164, 15sylan 458 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
17 rspsn.d . . . . 5  |-  .||  =  (
||r `  R )
18 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
197, 17, 18dvdsr2 15744 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
2019adantl 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
213, 16, 203bitr4d 277 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
2221abbi2dv 2550 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698   {csn 3806   class class class wbr 4204    _I cid 4485   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652   ||rcdsr 15735   LModclmod 15942   LSpanclspn 16039  ringLModcrglmod 16233  RSpancrsp 16235
This theorem is referenced by:  lidldvgen  16318  zndvds  16822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-dvdsr 15738  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-rsp 16239
  Copyright terms: Public domain W3C validator