MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspsn Unicode version

Theorem rspsn 16006
Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rspsn.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
rspsn.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
rspsn  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Distinct variable groups:    x, R    x, G    x, B    x, K    x,  .||

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a ( .r `  R ) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x )
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  =  ( a ( .r `  R
) G )  <->  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
32rexbidv 2564 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G )  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
4 rlmlmod 15957 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
5 rlmsca2 15953 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
6 baseid 13190 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 rspsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
86, 7strfvi 13186 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
9 rlmbas 15948 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
107, 9eqtri 2303 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
11 rlmvsca 15954 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
12 rspsn.k . . . . . 6  |-  K  =  (RSpan `  R )
13 rspval 15947 . . . . . 6  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
1412, 13eqtri 2303 . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
155, 8, 10, 11, 14lspsnel 15760 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
164, 15sylan 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  E. a  e.  B  x  =  ( a
( .r `  R
) G ) ) )
17 rspsn.d . . . . 5  |-  .||  =  (
||r `  R )
18 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
197, 17, 18dvdsr2 15429 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
2019adantl 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .||  x  <->  E. a  e.  B  ( a
( .r `  R
) G )  =  x ) )
213, 16, 203bitr4d 276 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
2221abbi2dv 2398 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   {csn 3640   class class class wbr 4023    _I cid 4304   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337   ||rcdsr 15420   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728  ringLModcrglmod 15922  RSpancrsp 15924
This theorem is referenced by:  lidldvgen  16007  zndvds  16503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-dvdsr 15423  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-rsp 15928
  Copyright terms: Public domain W3C validator