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Theorem rtrclreclem.min 24059
Description: The reflexive, transitive closure of  R is the smallest reflexive, transitive relation which contains  R and the identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.min  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t *rec `  R )  C_  s
) )
Distinct variable group:    ph, s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem rtrclreclem.min
Dummy variables  n  i  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) )  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) )
2 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^ r n )  =  ( R ^ r n ) )
32iuneq2d 3946 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
43adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
5 rtrclreclem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
6 nn0ex 9987 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
7 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( R ^ r n )  e.  _V
86, 7iunex 5786 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  e. 
_V
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  e.  _V )
101, 4, 5, 9fvmptd 5622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
11 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
1413sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r i )  C_  s  <->  ( R ^ r 0 )  C_  s )
)
1512, 14imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r i )  C_  s )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r 0 ) 
C_  s ) ) )
16 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1716anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
18 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r m ) )
1918sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^ r i )  C_  s  <->  ( R ^ r m )  C_  s )
)
2017, 19imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r i )  C_  s )  <->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r m ) 
C_  s ) ) )
21 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2221anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
23 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )
2423sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^ r i )  C_  s  <->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
2522, 24imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r i )  C_  s )  <->  ( (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
26 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) ) )
28 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
2928sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^ r i )  C_  s  <->  ( R ^ r n )  C_  s )
)
3027, 29imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r i )  C_  s )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r n ) 
C_  s ) ) )
31 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ph )
32 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Rel  R )
3332, 5relexp0 24040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3431, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
35 relfld 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
3631, 32, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
37 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
39 reseq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
4039sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s  <->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s ) )
4138, 40syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
)
4236, 41mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  s )
4334, 42eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r 0 ) 
C_  s )
44 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4544adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
48 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
49 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( s  o.  s
)  C_  s )
50 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s )
52 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)
5549, 51, 54jca32 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )
5647, 48, 55jca32 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) ) )
57 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s ) )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r m ) 
C_  s ) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s ) )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s ) )
6156, 60mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^ r m )  C_  s
)
6247adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
63 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
6463, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
6563, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
6664, 65relexpsucr 24041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  R ) ) )
6762, 66mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  R ) )
6851adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  C_  s
)
69 coss2 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R 
C_  s  ->  (
( R ^ r m )  o.  R
)  C_  ( ( R ^ r m )  o.  s ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  R )  C_  ( ( R ^
r m )  o.  s ) )
71 coss1 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( R ^ r m )  C_  s  ->  ( ( R ^ r m )  o.  s
)  C_  ( s  o.  s ) )
7271, 49sylan9ss 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  s )  C_  s )
7370, 72sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  R )  C_  s )
7467, 73eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( R ^ r m )  C_  s  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
7561, 74mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s
)
7675expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (
(  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s )
)
7776expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s
) ) )
7877expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  C_  s  /\  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
7978anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( s  o.  s )  C_  s  ->  ( ph  ->  (
( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) ) )
8079impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  /\  ( (
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s )
) )
8180anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) 
C_  s ) ) )
8281impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  /\  (
( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8382anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  C_  s
) )
8483impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8584anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  /\  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r m ) 
C_  s )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s )
8685expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s )  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) )
8786expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r m )  C_  s )  ->  (
( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  C_  s ) ) )
8815, 20, 25, 30, 43, 87nn0ind 10124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r n ) 
C_  s ) )
8988anabsi5 790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) ) )  ->  ( R ^ r n ) 
C_  s )
9089expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r n ) 
C_  s ) )
9190ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( R ^
r n )  C_  s )
92 iunss 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) 
C_  s  <->  A. n  e.  NN0  ( R ^
r n )  C_  s )
9391, 92sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) 
C_  s ) ) )  ->  U_ n  e. 
NN0  ( R ^
r n )  C_  s )
9493expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  o.  s
)  C_  s  /\  ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
) )  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
)
9594expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  C_  s  /\  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) )  C_  s
)  ->  ( (
s  o.  s ) 
C_  s  ->  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
) )
9695expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  ->  ( R  C_  s  ->  ( ( s  o.  s
)  C_  s  ->  (
ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
) ) )
97963imp1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  /\  ph )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  C_  s )
9897expcom 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
)
99 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  -> 
( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) ) `
 R )  C_  s 
<-> 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
)
10099imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  -> 
( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  C_  s )
) )
10198, 100syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
)  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  -> 
( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
10210, 101mpcom 32 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
) )
103 df-rtrclrec 24054 . . . 4  |-  t
*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )
104 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( t *rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) )
105104sseq1d 3218 . . . . . 6  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( ( t *rec `  R )  C_  s  <->  ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) ) `
 R )  C_  s ) )
106105imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t *rec `  R )  C_  s
)  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
107106imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t *rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
) ) ) )
108103, 107ax-mp 8 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  (
s  o.  s ) 
C_  s )  -> 
( t *rec `  R )  C_  s
) )  <->  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  C_  s
) ) )
109102, 108mpbir 200 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t *rec `  R )  C_  s
) )
110109alrimiv 1621 1  |-  ( ph  ->  A. s ( ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) )  C_  s  /\  R  C_  s  /\  ( s  o.  s
)  C_  s )  ->  ( t *rec `  R )  C_  s
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   U.cuni 3843   U_ciun 3921    e. cmpt 4093    _I cid 4320   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ^ rcrelexp 24038   t *reccrtrcl 24053
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  24060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-relexp 24039  df-rtrclrec 24054
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