Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtrclreclem.refl Structured version   Unicode version

Theorem rtrclreclem.refl 25146
Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.refl  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t *rec `  R
) )

Proof of Theorem rtrclreclem.refl
Dummy variables  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10238 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
2 ssid 3369 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  (  _I  |`  U. U. R )
3 rtrclreclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
4 rtrclreclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
53, 4relexp0 25131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
62, 5syl5sseqr 3399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r 0 ) )
7 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( R ^ r n )  =  ( R ^
r 0 ) )
87sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r n )  <-> 
(  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r 0 ) ) )
98rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r 0 ) )  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r n ) )
101, 6, 9sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R )  C_  ( R ^ r n ) )
11 ssiun 4135 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  (  _I  |`  U. U. R
)  C_  ( R ^ r n )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n ) )
13 nn0ex 10229 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( R ^ r n )  e.  _V
1513, 14iunex 5993 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  e. 
_V
16 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^ r n )  =  ( R ^ r n ) )
1716iuneq2d 4120 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
18 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  =  ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) )
1917, 18fvmptg 5806 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  e.  _V )  -> 
( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
204, 15, 19sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
2112, 20sseqtr4d 3387 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
) )
22 df-rtrclrec 25144 . . 3  |-  t
*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )
23 fveq1 5729 . . . . 5  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( t *rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) )
2423sseq2d 3378 . . . 4  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  ( t *rec
`  R )  <->  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) ) )
2524imbi2d 309 . . 3  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t *rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
) ) ) )
2622, 25ax-mp 8 . 2  |-  ( (
ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t *rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
) ) )
2721, 26mpbir 202 1  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  (
t *rec `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4268    _I cid 4495    |` cres 4882   Rel wrel 4885   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   NN0cn0 10223   ^ rcrelexp 25129   t *reccrtrcl 25143
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  25150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-relexp 25130  df-rtrclrec 25144
  Copyright terms: Public domain W3C validator