Users' Mathboxes Mathbox for Drahflow < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtrclreclem.subset Structured version   Unicode version

Theorem rtrclreclem.subset 25137
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.subset  |-  ( ph  ->  R  C_  ( t *rec `  R )
)

Proof of Theorem rtrclreclem.subset
Dummy variables  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 10229 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 ssid 3359 . . . . . . 7  |-  R  C_  R
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  C_  R )
4 rtrclreclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
5 rtrclreclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
64, 5relexp1 25123 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
73, 6sseqtr4d 3377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  C_  ( R ^ r 1 ) )
8 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( R ^ r n )  =  ( R ^
r 1 ) )
98sseq2d 3368 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( R  C_  ( R ^
r n )  <->  R  C_  ( R ^ r 1 ) ) )
109rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  R  C_  ( R ^
r 1 ) )  ->  E. n  e.  NN0  R 
C_  ( R ^
r n ) )
111, 7, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  R 
C_  ( R ^
r n ) )
12 ssiun 4125 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  R  C_  ( R ^ r n )  ->  R  C_ 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  U_ n  e. 
NN0  ( R ^
r n ) )
14 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) )  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) )
15 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^ r n )  =  ( R ^ r n ) )
1615iuneq2d 4110 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
1716adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  =  R )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n )  = 
U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
18 nn0ex 10219 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
19 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( R ^ r n )  e.  _V
2018, 19iunex 5983 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN0  ( R ^
r n )  e. 
_V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n )  e.  _V )
2214, 17, 5, 21fvmptd 5802 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R )  =  U_ n  e.  NN0  ( R ^ r n ) )
2313, 22sseqtr4d 3377 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  ( (
r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) )
24 df-rtrclrec 25134 . . 3  |-  t
*rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )
25 fveq1 5719 . . . . 5  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( t *rec
`  R )  =  ( ( r  e. 
_V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) )
2625sseq2d 3368 . . . 4  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( R  C_  ( t *rec `  R )  <->  R  C_  (
( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  (
r ^ r n ) ) `  R
) ) )
2726imbi2d 308 . . 3  |-  ( t *rec  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) )  ->  ( ( ph  ->  R  C_  ( t *rec `  R )
)  <->  ( ph  ->  R 
C_  ( ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^
r n ) ) `
 R ) ) ) )
2824, 27ax-mp 8 . 2  |-  ( (
ph  ->  R  C_  (
t *rec `  R
) )  <->  ( ph  ->  R  C_  ( (
r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^ r n ) ) `  R ) ) )
2923, 28mpbir 201 1  |-  ( ph  ->  R  C_  ( t *rec `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U_ciun 4085    e. cmpt 4258   Rel wrel 4875   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983   NN0cn0 10213   ^ rcrelexp 25119   t *reccrtrcl 25133
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  25140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-relexp 25120  df-rtrclrec 25134
  Copyright terms: Public domain W3C validator