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Theorem rtrclreclem.trans 24058
Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.trans  |-  ( ph  ->  ( ( t *rec
`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  C_  ( t *rec `  R ) )

Proof of Theorem rtrclreclem.trans
Dummy variables  d 
e  g  f  n  m  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 4714 . . 3  |-  ( ( t *rec `  R
)  o.  ( t *rec `  R )
)  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) }
2 elopab 4288 . . . . 5  |-  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) }  <->  E. e E. g
( d  =  <. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) ) )
3 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  = 
<. e ,  g >.  <->  <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>. ) )
43anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  <->  ( <. e ,  g >.  =  <. e ,  g >.  /\  ( E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  /\  ph ) ) ) )
5 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  ph )
6 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g ) )
7 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  e
( t *rec `  R ) f )
8 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  ph )
9 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Rel  R )
10 rtrclreclem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
119, 10dfrtrclrec2 24055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e ( t *rec `  R )
f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^
r n ) f ) )
128, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^
r n ) f ) )
137, 12mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  E. n  e.  NN0  e ( R ^ r n ) f )
14 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  f (
t *rec `  R
) g )
15 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
169, 10dfrtrclrec2 24055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R )
g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^
r m ) g ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t *rec `  R ) g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^ r m ) g ) )
1814, 17mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN0  f ( R ^ r m ) g )
19 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) )  ->  m  e.  NN0 )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2721, 26nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN0 )
2821adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
3026adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
3229, 31addcomd 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  =  ( m  +  n ) )
33 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( n  +  m
)  e.  NN0  <->  ( m  +  n )  e.  NN0 ) )
3433anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) ) ) )
3526adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3621adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
37 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3938, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpadd 24050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  =  ( R ^ r ( m  +  n ) ) ) )
4235, 36, 41mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) )
43 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) )
4443eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) )  =  ( R ^ r ( n  +  m
) )  <->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) ) )
4634, 45sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) ) )
4732, 46mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) )
4847eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) ) )
49 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r n ) f )
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
e ( R ^
r n ) f )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r n ) f )
52 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
f ( R ^
r m ) g )
5655adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
57 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  f  e. 
_V
58 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
e ( R ^
r n ) h  <-> 
e ( R ^
r n ) f ) )
59 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
h ( R ^
r m ) g  <-> 
f ( R ^
r m ) g ) )
6058, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( h  =  f  ->  (
( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^ r m ) g )  <->  ( e
( R ^ r n ) f  /\  f ( R ^
r m ) g ) ) )
6157, 60spcev 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  f ( R ^ r m ) g )  ->  E. h
( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^ r m ) g ) )
6251, 56, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. h ( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^
r m ) g ) )
63 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  e  e. 
_V
64 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  g  e. 
_V
6563, 64brco 4868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( e ( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g  <->  E. h ( e ( R ^ r n ) h  /\  h
( R ^ r m ) g ) )
6662, 65sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g )
67 breq 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  ->  ( e
( R ^ r ( n  +  m
) ) g  <->  e (
( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g ) )
6866, 67syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r ( n  +  m ) ) g ) )
6948, 68mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r ( n  +  m ) ) g )
70 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) )
7170breqd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  (
e ( R ^
r i ) g  <-> 
e ( R ^
r ( n  +  m ) ) g ) )
7271rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  e ( R ^
r ( n  +  m ) ) g )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^ r i ) g )
7369, 72syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g )
7427, 73mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g )
75 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( e ( t *rec `  R ) g  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
7637, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
7737, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
7876, 77dfrtrclrec2 24055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
g  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g ) )
7975, 78syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R )  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^ r i ) g ) )
8074, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) )
8180expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( e
( t *rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) ) )
8281expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t *rec `  R ) g  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) ) )
8382expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R )
g  ->  ( e
( t *rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) ) ) ) )
8483anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R
) g  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) ) )
8584impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( f ( t *rec `  R
) g  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) )
8685anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  (
f ( t *rec
`  R ) g  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) ) )
8786impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
8887anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
8988impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9089anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
9190expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t *rec `  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9291expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( f ( R ^ r m ) g  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) ) )
9392rexlimiv 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. m  e.  NN0  f
( R ^ r m ) g  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9418, 93mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9594expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
9695anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9796impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t *rec `  R ) g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9897anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ph ) )  /\  (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
9998expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t *rec `  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
10099expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( e ( R ^ r n ) f  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) )
101100rexlimiv 2674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  NN0  e
( R ^ r n ) f  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
10213, 101mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
103102anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
104103expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
105104exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. f ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  f ( t *rec `  R )
g )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
1065, 6, 105sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
107 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  e.  ( t *rec `  R )  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
108106, 107syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
1094, 108sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
110109anabsi5 790 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  =  <. e ,  g >.  /\  ( E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R
) )
111110anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  =  <. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) )  /\  ph )  ->  d  e.  ( t *rec `  R )
)
112111expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
113112exlimdvv 1627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. e E. g ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
1142, 113syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) }  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
115 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
) )  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) }  ->  (
d  e.  ( ( t *rec `  R
)  o.  ( t *rec `  R )
)  <->  d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) } ) )
116115imbi1d 308 . . . 4  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
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`  R ) g ) }  ->  (
( d  e.  ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) )  <->  ( d  e.  { <. e ,  g
>.  |  E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g ) }  ->  d  e.  ( t *rec `  R
) ) ) )
117114, 116syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
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`  R ) g ) }  ->  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t *rec
`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  -> 
d  e.  ( t *rec `  R )
) ) )
1181, 117ax-mp 8 . 2  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t *rec `  R )  o.  (
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119118ssrdv 3198 1  |-  ( ph  ->  ( ( t *rec
`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  C_  ( t *rec `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ^ rcrelexp 24038   t *reccrtrcl 24053
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  24060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-relexp 24039  df-rtrclrec 24054
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