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Theorem rtrclreclem.trans 25148
Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
rtrclreclem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem.trans  |-  ( ph  ->  ( ( t *rec
`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  C_  ( t *rec `  R ) )

Proof of Theorem rtrclreclem.trans
Dummy variables  d 
e  g  f  n  m  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 4889 . . 3  |-  ( ( t *rec `  R
)  o.  ( t *rec `  R )
)  =  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) }
2 elopab 4464 . . . . 5  |-  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) }  <->  E. e E. g
( d  =  <. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) ) )
3 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  = 
<. e ,  g >.  <->  <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>. ) )
43anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  <->  ( <. e ,  g >.  =  <. e ,  g >.  /\  ( E. f ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  /\  ph ) ) ) )
5 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  ph )
6 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g ) )
7 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  e
( t *rec `  R ) f )
8 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  ph )
9 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Rel  R )
10 rtrclreclem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
119, 10dfrtrclrec2 25145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e ( t *rec `  R )
f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^
r n ) f ) )
128, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  <->  E. n  e.  NN0  e ( R ^
r n ) f ) )
137, 12mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  E. n  e.  NN0  e ( R ^ r n ) f )
14 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  f (
t *rec `  R
) g )
15 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
169, 10dfrtrclrec2 25145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R )
g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^
r m ) g ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t *rec `  R ) g  <->  E. m  e.  NN0  f ( R ^ r m ) g ) )
1814, 17mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN0  f ( R ^ r m ) g )
19 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2120adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
22 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) )  ->  m  e.  NN0 )
2322adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2423adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2625adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
2721, 26nn0addcld 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN0 )
2821adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
3026adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
3229, 31addcomd 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( n  +  m )  =  ( m  +  n ) )
33 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( n  +  m
)  e.  NN0  <->  ( m  +  n )  e.  NN0 ) )
3433anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) ) ) )
3526adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3621adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
37 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3837adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ph )
3938, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpadd 25140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  =  ( R ^ r ( m  +  n ) ) ) )
4235, 36, 41mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) )
43 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) )
4443eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) )  =  ( R ^ r ( n  +  m
) )  <->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( m  +  n ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( m  +  n )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) ) )
4634, 45sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( n  +  m )  =  ( m  +  n )  ->  (
( ( n  +  m )  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) ) )
4732, 46mpcom 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^
r n ) )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) )
4847eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) ) )
49 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r n ) f )
5049adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
e ( R ^
r n ) f )
5150adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r n ) f )
52 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5453adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
5554adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
f ( R ^
r m ) g )
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  f ( R ^ r m ) g )
57 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  f  e. 
_V
58 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
e ( R ^
r n ) h  <-> 
e ( R ^
r n ) f ) )
59 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( h  =  f  ->  (
h ( R ^
r m ) g  <-> 
f ( R ^
r m ) g ) )
6058, 59anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( h  =  f  ->  (
( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^ r m ) g )  <->  ( e
( R ^ r n ) f  /\  f ( R ^
r m ) g ) ) )
6157, 60spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  f ( R ^ r m ) g )  ->  E. h
( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^ r m ) g ) )
6251, 56, 61syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. h ( e ( R ^ r n ) h  /\  h ( R ^
r m ) g ) )
63 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  e  e. 
_V
64 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  g  e. 
_V
6563, 64brco 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( e ( ( R ^
r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g  <->  E. h ( e ( R ^ r n ) h  /\  h
( R ^ r m ) g ) )
6662, 65sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g )
67 breq 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  ->  ( e
( R ^ r ( n  +  m
) ) g  <->  e (
( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) ) g ) )
6866, 67syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R ^ r ( n  +  m ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  ( R ^ r n ) )  ->  ( (
( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r ( n  +  m ) ) g ) )
6948, 68mpcom 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  e ( R ^ r ( n  +  m ) ) g )
70 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  +  m ) ) )
7170breqd 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( i  =  ( n  +  m )  ->  (
e ( R ^
r i ) g  <-> 
e ( R ^
r ( n  +  m ) ) g ) )
7271rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  e ( R ^
r ( n  +  m ) ) g )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^ r i ) g )
7369, 72syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( n  +  m
)  e.  NN0  /\  ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g )
7427, 73mpancom 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g )
75 df-br 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( e ( t *rec `  R ) g  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
7637, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  Rel  R )
7737, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  R  e.  _V )
7876, 77dfrtrclrec2 25145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
g  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^
r i ) g ) )
7975, 78syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  -> 
( <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R )  <->  E. i  e.  NN0  e ( R ^ r i ) g ) )
8074, 79mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  (
n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) )
8180expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( e
( t *rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) ) )
8281expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( e
( R ^ r n ) f  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  ( f
( t *rec `  R ) g  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) ) )
8382expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  ( n  e. 
NN0  /\  ( f
( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R )
g  ->  ( e
( t *rec `  R ) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R ) ) ) ) )
8483anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( ph  ->  ( f ( t *rec `  R
) g  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) ) )
8584impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( f ( t *rec `  R
) g  ->  (
e ( t *rec
`  R ) f  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) )
8685anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  (
f ( t *rec
`  R ) g  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) ) )
8786impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
8887anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
8988impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  /\  ( f ( R ^ r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9089anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  /\  (
f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
9190expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f ( R ^
r m ) g  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t *rec `  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9291expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( f ( R ^ r m ) g  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) ) )
9392rexlimiv 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( E. m  e.  NN0  f
( R ^ r m ) g  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9418, 93mpcom 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9594expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f ( t *rec
`  R ) g  /\  ( ph  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( e ( t *rec `  R
) f  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
9695anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( e ( t *rec `  R )
f  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
9796impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( ( f ( t *rec `  R ) g  /\  ph )  /\  ( e ( R ^ r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
9897anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  ( f
( t *rec `  R ) g  /\  ph ) )  /\  (
e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
9998expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e ( R ^
r n ) f  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( e ( t *rec `  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R )
g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
10099expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( e ( R ^ r n ) f  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) ) )
101100rexlimiv 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  NN0  e
( R ^ r n ) f  -> 
( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  (
f ( t *rec
`  R ) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
10213, 101mpcom 35 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  ( f ( t *rec `  R
) g  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
103102anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph )  ->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) )
104103expcom 426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( e ( t *rec `  R
) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  ->  <. e ,  g
>.  e.  ( t *rec
`  R ) ) )
105104exlimdv 1647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. f ( e ( t *rec
`  R ) f  /\  f ( t *rec `  R )
g )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) ) )
1065, 6, 105sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  <. e ,  g >.  e.  ( t *rec `  R
) )
107 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( d  e.  ( t *rec `  R )  <->  <. e ,  g >.  e.  (
t *rec `  R
) ) )
108106, 107syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( <.
e ,  g >.  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
1094, 108sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  <. e ,  g
>.  ->  ( ( d  =  <. e ,  g
>.  /\  ( E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
t *rec `  R
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) f  /\  f
( t *rec `  R ) g )  /\  ph ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R
) )
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) f  /\  f
( t *rec `  R ) g ) )  /\  ph )  ->  d  e.  ( t *rec `  R )
)
112111expcom 426 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
113112exlimdvv 1648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. e E. g ( d  = 
<. e ,  g >.  /\  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
1142, 113syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) }  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) ) )
115 eleq2 2499 . . . . 5  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
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`  R ) g ) }  ->  (
d  e.  ( ( t *rec `  R
)  o.  ( t *rec `  R )
)  <->  d  e.  { <. e ,  g >.  |  E. f ( e ( t *rec `  R ) f  /\  f ( t *rec
`  R ) g ) } ) )
116115imbi1d 310 . . . 4  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
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`  R ) g ) }  ->  (
( d  e.  ( ( t *rec `  R )  o.  (
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) )  ->  d  e.  ( t *rec `  R ) )  <->  ( d  e.  { <. e ,  g
>.  |  E. f
( e ( t *rec `  R )
f  /\  f (
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) g ) }  ->  d  e.  ( t *rec `  R
) ) ) )
117114, 116syl5ibr 214 . . 3  |-  ( ( ( t *rec `  R )  o.  (
t *rec `  R
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`  R ) g ) }  ->  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t *rec
`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  -> 
d  e.  ( t *rec `  R )
) ) )
1181, 117ax-mp 8 . 2  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( ( t *rec `  R )  o.  (
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`  R )  o.  ( t *rec `  R ) )  C_  ( t *rec `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4214   {copab 4267    o. ccom 4884   Rel wrel 4885   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    + caddc 8995   NN0cn0 10223   ^ rcrelexp 25129   t *reccrtrcl 25143
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  25150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-relexp 25130  df-rtrclrec 25144
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